《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1. (2024北京海淀清华附中月考)下列方程中，一定为一元二次方程的是( )
A. x + 3y = 4
B. 5y = 5y²
C. 4x - 4 = 0
D. ax² - x = 1

答案： A.方程是二元一次方程，故本选项不符合题意;B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意;C.方程是一元一次方程，故本选项不符合题意;D.当a = 0时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.故选B.

2. 新独家原创 若(a - 1)x^|a| + 1 + bx + 9 = 0是一元二次方程，则 ( )
A. a = ±1
B. a ≠ 0，b ≠ 0
C. a = -1，b为任意实数
D. a = -1，b ≠ 0

答案： 由题意得|a| + 1 = 2，a - 1≠0，b为任意实数，
∴ a = -1.故选C.

3. (2023北京房山期末)一元二次方程3x² - 4x - 1 = 0的二次项系数是________，一次项系数是________。

答案： 答案 3;-4
解析 方程3x² - 4x - 1 = 0为一元二次方程的一般形式，
∴ 二次项系数是3，一次项系数是-4.

4. 教材变式·P91例 判断下列方程是不是一元二次方程。如果是，分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) x(x + 2) = 0；
(2) x(4x + 3) = (2x - 1)²；
(3) x + 1/(x + 1) = 3；
(4) (x - 1)² + 2x = 2x²。

答案： 解析
(1)x(x + 2) = 0化简为x² + 2x = 0，是一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为0.
(2)x(4x + 3) = (2x - 1)²化简为7x - 1 = 0，不是一元二次方程.
(3)x + 1/(x + 1)=3是分式方程，不是一元二次方程.
(4)(x - 1)² + 2x = 2x²化简为x² - 1 = 0，是一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1.
方法总结：确定一元二次方程的各项及其系数
(1)先把方程化为一般形式，如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘-1，将其二次项系数转化为大于0的数.
(2)指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉.
(3)特例：若没有出现一次项bx，则b = 0；若没有出现常数项，则c = 0.

5. 关于x的一元二次方程2(x - 1)² + b(x - 1) + c = 0化为一般形式后为2x² - 3x - 1 = 0，试求b，c的值。

答案： 解析 2(x - 1)² + b(x - 1) + c = 0，
2(x² - 2x + 1) + bx - b + c = 0，整理得2x² + (b - 4)x + 2 - b + c = 0，
∵ 一般形式为2x² - 3x - 1 = 0，
∴ b - 4 = -3，2 - b + c = -1，解得b = 1，c = -2.

6. (2024北京昌平期末)若x = 1是方程x² + mx + 1 = 0的一个解，则m的值为 ( )
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2

答案：
∵ x = 1是方程x² + mx + 1 = 0的一个解，
∴ 1 + m + 1 = 0，解得m = -2，故选D.

7. (2024北京工业大学附中期中)若x = -1是一元二次方程ax² + bx + c = 0的根，则下列式子成立的是 ( )
A. a + b + c = 0
B. a - b + c = 0
C. a + b - c = 0
D. -a + b + c = 0

答案： 把x = -1代入一元二次方程ax² + bx + c = 0得a - b + c = 0，故选B.

8. 新考向·开放型试题 按要求构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为 -1。这个一元二次方程可以是________(写出一个即可)。

答案： 答案 x² - 1 = 0(答案不唯一)

9. 新独家原创 如果关于x的一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数满足2a - 2b + c = 0，我们称这个一元二次方程为巧系数方程。
(1) 试判断方程2y² - y - 6 = 0是不是巧系数方程。
(2) 已知关于z的巧系数方程2az² - 3z - c = 0的一个根为1，求这个巧系数方程。

答案： 解析
(1)
∵ a = 2，b = -1，c = -6，
∴ 2a - 2b + c = 4 - (-2) + (-6) = 0.
故此方程是巧系数方程.
(2)将z = 1代入原方程得2a - 3 - c = 0①，
∵ 此方程为巧系数方程，
∴ 4a + 6 - c = 0②，
联立①②，解得{a = -4.5，c = -12}.
∴ 这个巧系数方程为3z² + z - 4 = 0.