《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

14.新考向·尺规作图 (2024北京四中期中,24,)如图1,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考,可得以下3则命题:
Ⅰ.若D是AB的中点,DE = $\frac{1}{2}$BC,则E是AC的中点;
Ⅱ.若DE//BC,DE = $\frac{1}{2}$BC,则D,E分别是AB,AC的中点;
Ⅲ.若D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点.
(1)小明通过对命题Ⅰ的思考,发现命题Ⅰ是假命题.
他的思考方法如下:
在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E,从而直观判断E不一定是AC的中点.
尺规作图的步骤如下:
①在图2中,作边BC的垂直平分线,交BC于点M,
②以点D为圆心,以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E'.
请你在图2中完成以上作图.
(2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考,发现这两个命题都是真命题,请你从这两个命题中选择一个,并借助图1进行证明.
　　　　　　　

答案：
解析
(1)如图.

(2)若选择Ⅱ.
证明:如图,过点E作EM//AB交BC于点M,连接DM,

∵DE//BC,
∴四边形EDBM是平行四边形,
∴BD = EM,DE = BM,
又
∵DE = $\frac{1}{2}$BC,
∴DE = BM = CM,
∴四边形DECM是平行四边形,
∴DM = CE,DM//CE,
∴DM//AE,
又
∵EM//AD,
∴四边形ADME是平行四边形,
∴AD = EM,DM = AE,
∴AD = BD,AE = CE,
∴D,E分别是AB,AC的中点.
若选择Ⅲ.
证明:如图,延长ED至点F,使DF = DE,连接BF,

∵D是AB边的中点,
∴AD = BD.
又
∵∠ADE = ∠BDF,DE = DF,
∴△ADE≌△BDF(SAS),
∴AE = BF,∠AED = ∠BFD,
∴AC//BF,
∵EF//BC,
∴四边形BCEF是平行四边形,
∴BF = CE,
∴CE = AE,
∴E是AC的中点.

15.(2023北京魏善庄中学期末,24,)如图,四边形ABCD中,已知AB = CD,点E、F分别为AD、BC的中点,延长BA、CD,分别交射线FE于P、Q.求证:∠BPF = ∠CQF.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
证明 如图,连接BD,取BD的中点M,连接EM、FM.

∵点E是AD的中点,
∴EM//AB,EM = $\frac{1}{2}$AB,
∴∠MEF = ∠BPF,
同理可得FM//CD,FM = $\frac{1}{2}$CD,
∴∠MFQ = ∠CQF,又
∵AB = CD,
∴EM = FM,
∴∠MEF = ∠MFE,
∴∠BPF = ∠CQF.