《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

8.(2024河北中考,10,)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC中，AB = AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN = ∠ABC +∠3，∠CAN = ∠1 +∠2，∠1=∠2，
∴ ① .
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB( ② ).
∴MD=MB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确，①②应分别为 （ ）


A.∠1=∠3，AAS
B.∠1=∠3，ASA
C.∠2=∠3，AAS
D.∠2=∠3，ASA

答案： D

9.(2024北京海淀清华附中期末,15,)如图，四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，且∠BAD、∠ADC的平分线AE、DF分别交BC于点E、F.若EF=2，AB=5，则AD的长为________.

答案： 答案 8
解析
∵AD//BC,
∴∠ADF = ∠DFC,
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF = ∠CDF,
∴∠DFC = ∠CDF,
∴CF = CD,
同理可得BE = AB,
∵AB//CD,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB = CD,AD = BC,
∴AB = BE = CF = CD = 5,
∴BC = BE + CF - EF = 5 + 5 - 2 = 8,
∴AD = BC = 8.

10.(2024北京十四中期中,16,)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6 cm，AD=10 cm.点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动.两个动点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时点Q也停止运动).设运动时间为t(t＞0)秒.当运动__________秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.

答案： 答案 4或$\frac{20}{3}$或8
解析
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴PD//BQ.
若以P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形,则PD = BQ.
当0＜t≤$\frac{5}{2}$时,AP = t cm,PD = (10 - t)cm,CQ = 4t cm,BQ = (10 - 4t)cm,
∴10 - t = 10 - 4t,解得t = 0,舍去；
当$\frac{5}{2}$＜t≤5时,AP = t cm,PD = (10 - t)cm,BQ = (4t - 10)cm,
∴10 - t = 4t - 10,解得t = 4；
当5＜t≤$\frac{15}{2}$时,AP = t cm,PD = (10 - t)cm,CQ = (4t - 20)cm,BQ = (30 - 4t)cm,
∴10 - t = 30 - 4t,解得t = $\frac{20}{3}$；
当$\frac{15}{2}$＜t≤10时,AP = t cm,PD = (10 - t)cm,BQ = (4t - 30)cm,
∴10 - t = 4t - 30,解得t = 8.
综上,当运动时间为4秒或$\frac{20}{3}$秒或8秒时,以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形,故答案为4或$\frac{20}{3}$或8.

11.新考向·尺规作图 (2024浙江中考,21,)尺规作图问题：
如图1，点E是□ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF//CE，F是边BC上一点.
小明：如图2.以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！

(1)证明：AF//CE.
(2)指出小丽作法中存在的问题.

答案： 解析
(1)证明：根据小明的作法知CF = AE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF//CE.
(2)以A为圆心,EC长为半径作弧,与BC可能会有两个交点,只有其中之一符合题意.