《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1. (2023北京丰台期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 100 cm，∠A = 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点D、E运动的时间是t秒(0 ＜ t ≤ 25)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF。
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形。
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由。
　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)证明:由题意得AE = 2t cm,CD = 4t cm,
∵DF⊥BC,
∴∠CFD = 90°,
∵∠A = 60°,∠B = 90°,
∴∠C = 30°,
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4t = 2t cm,
∴AE = DF,
∵∠CFD = ∠B = 90°,
∴DF//AE,
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)四边形AEFD能够成为菱形.
由
(1)得四边形AEFD为平行四边形,
当□AEFD为菱形时,AE = AD,
∵AC = 100 cm,CD = 4t cm,
∴AD=(100 - 4t)cm,
∴2t = 100 - 4t,
∴t=$\frac{50}{3}$,
∵0 ＜ t≤25,
∴t=$\frac{50}{3}$满足题意,
∴当t=$\frac{50}{3}$时,四边形AEFD是菱形.

2. 分类讨论思想(2024北京十九中模拟)如图，在四边形ABCD中，∠A = ∠B = ∠BCD = 90°，AB = DC = 4，AD = BC = 8。延长BC至E，使CE = 3，连接DE，由勾股定理可知DE = 5。动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒。(t ＞ 0)
(1)当t = 3时，BP = ________。
(2)当t = ________时，点P运动到∠ABC的平分线上。
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S。
(4)当0 ＜ t ＜ 6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边的距离相等时t的值。
　　　　　 　　

答案：
解析
(1)6.详解:BP = 2t = 6.
(2)8.
详解:如图,作∠ABC的平分线交AD于F,

∴∠ABF = ∠FBC,
∵∠A = ∠ABC = ∠BCD = 90°,
∴四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,
∴∠AFB = ∠FBC,
∴∠ABF = ∠AFB,
∴AF = AB = 4,
∴DF = AD - AF = 8 - 4 = 4,
∴BC + CD + DF = 8 + 4 + 4 = 16,
∴2t = 16,解得t = 8.
∴当t = 8时,点P运动到∠ABC的平分线上.
(3)①当点P在BC上运动时,$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}BP\cdot AB=\frac{1}{2}\times2t\cdot4 = 4t(0 ＜ t≤4)$;
②当点P在CD上运动时,$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\times4\times8 = 16(4 ＜ t≤6)$;
③当点P在AD上运动时,$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot AP=\frac{1}{2}\times4(20 - 2t)= - 4t + 40(6 ＜ t≤10)$.
(4)2或3或$\frac{19}{4}$.
详解:当0 ＜ t ＜ 6时,点P在BC、CD边上运动.
①当点P在BC上,点P到AB与AD的距离相等时,
∵点P到AD的距离为4,
∴BP = 4,
∴2t = 4,解得t = 2;
②当点P在BC上,点P到AD与DE的距离相等时,过点P作PF⊥DE于点F,如图,

∵点P到AD的距离为4,
∴PF = 4,
易得△PFE≌△DCE,
∴PE = DE = 5,
∴PC = PE - CE = 2,
∴8 - 2t = 2,解得t = 3;
③当点P在CD上,点P到DE与BE的距离相等时,过点P作PH⊥DE于点H,连接PE,如图,

∵点P到DE与BE的距离相等,
∴PC = PH = 2t - 8,
∵$S_{\triangle DCE}=S_{\triangle DPE}+S_{\triangle PCE}$,
∴$\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5(2t - 8)+\frac{1}{2}\times3(2t - 8)$,解得t=$\frac{19}{4}$.
综上,当t的值为2或3或$\frac{19}{4}$时,点P到四边形ABED相邻两边的距离相等.