《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

5.阅读下列材料：
因式分解：$(x + y)^{2}+2(x + y)+1$.
解：将“$x + y$”看成整体，令$x + y = A$，
则原式$=A^{2}+2A + 1=(A + 1)^{2}$，
再将“$A$”还原，得原式$=(x + y + 1)^{2}$.
上述解题过程用到了“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题.
（1）因式分解：$9 + 6(x - y)+(x - y)^{2}=$_______.
（2）因式分解：$(a + b)(a + b - 8)+16$.
（3）证明：若$n$为正整数，则式子$(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)+1$的值一定是某一个整数的平方.

答案： 解析（1）将“x - y”看成整体，令 x - y = A，则原式 = A² + 6A + 9 = (A + 3)²，再将“A”还原，得原式 = (x - y + 3)²。故答案为(x - y + 3)²。（2）将“a + b”看成整体，令 a + b = A，则原式 = A(A - 8) + 16 = A² - 8A + 16 = (A - 4)²，再将“A”还原，得原式 = (a + b - 4)²。（3）证明：(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1= [(n + 1)(n + 4)]·[(n + 2)(n + 3)] + 1= (n² + 5n + 4)(n² + 5n + 6) + 1，令 n² + 5n = A，则原式 = (A + 4)(A + 6) + 1= A² + 10A + 25= (A + 5)²= (n² + 5n + 5)²，
∵ n 为正整数，
∴ n² + 5n + 5 是整数，
∴ 式子(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1 的值一定是某一个整数的平方。

6.新考向·项目学习试题（2023 湖南永州宁远期中）
提出问题：
你能把多项式$x^{2}+5x + 6$因式分解吗？
探究问题：
如图 1 所示，已知$a$，$b$为常数，由面积相等可得$(x + a)(x + b)=x^{2}+ax + bx + ab=x^{2}+(a + b)x + ab$，将该式从右到左使用，就可以对形如$x^{2}+(a + b)x + ab$的多项式进行因式分解，即$x^{2}+(a + b)x + ab=(x + a)(x + b)$.观察发现多项式$x^{2}+(a + b)x + ab$的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和.
解决问题：
$x^{2}+5x + 6=x^{2}+(2 + 3)x + 2×3=(x + 3)(x + 2)$.
运用结论：
（1）基础运用：对多项式$x^{2}-5x - 24$进行因式分解.
（2）知识迁移：对多项式$4x^{2}-4x - 15$进行因式分解时可以这样思考：将二次项$4x^{2}$分解成图 2 中的两个$2x$的积，再将常数项$-15$分解成$-5$与 3 的乘积，图中的对角线上的乘积的和为$-4x$，就是$4x^{2}-4x - 15$的一次项，所以有$4x^{2}-4x - 15=(2x - 5)(2x + 3)$，这种分解因式的方法叫作“十字相乘法”.请用“十字相乘法”进行因式分解：$3x^{2}-19x - 14$.

答案：
解析（1）x² - 5x - 24 = x² + (3 - 8)x + 3×(-8)= (x + 3)(x - 8)。（2）用十字相乘法进行因式分解，如图，
3x² - 19x - 14 = (x - 7)(3x + 2)。