《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

11.（2024山东临沂沂南期末）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个.应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排$x$名工人生产镜片，$y$名工人生产镜架，则可列方程组为 （ ）
A.$\begin{cases}x + y = 60\\2\times200x = 50y\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 60\\200x = 50y\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 60\\200x = 2\times50y\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 50\\200x = 2\times50y\end{cases}$

答案： C等量关系为生产镜片的工人数量+生产镜架的工人数量 = 60，镜片数量 = 2×镜架数量，则可列方程组为$\begin{cases}x + y = 60\\200x = 2×50y\end{cases}$. 故选C.

12.为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍.设每副羽毛球拍$x$元，每副乒乓球拍$y$元，则可列二元一次方程组为______________.

答案： 答案 $\begin{cases}x + y = 50\\6x + 10y = 320\end{cases}$ 解析 根据购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍共用320元，可列方程组为$\begin{cases}x + y = 50\\6x + 10y = 320\end{cases}$.

13.（2024山东淄博临淄期末，4，★★☆）二元一次方程$2x + 3y = 12$的正整数解有（M7209001） （ ）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组

答案： A $\because 2x + 3y = 12$，$\therefore 3y = 12 - 2x$，$\therefore y = \frac{12 - 2x}{3}$，$\because x$，$y$都是正整数，$\therefore 12 - 2x$为3的倍数，$\therefore 12 - 2x = 3$，解得$x = 4.5$（不合题意，舍去）；$12 - 2x = 6$，解得$x = 3$，则$y = 2$；$12 - 2x = 9$，解得$x = 1.5$（不合题意，舍去）；$12 - 2x = 12$，解得$x = 0$（不合题意，舍去）. $\therefore$二元一次方程$2x + 3y = 12$的正整数解有1组，为$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$. 故选A.

14.（2024山东烟台莱阳期末，7，★★☆）“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池.”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍.”设甲收集了$x$节废电池，乙收集了$y$节废电池，根据题意可列方程组为 （ ）
A.$\begin{cases}y - x = 7\\x + 9 = 2(y - 9)\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y = 7\\2(x - 9) = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - y = 7\\x - 9 = 2(y + 9)\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - y = 7\\2(x - 9) = y + 9\end{cases}$

答案： D $\because$甲比乙多收集了7节废电池，$\therefore x - y = 7$. $\because$若甲给乙9节废电池，则乙的废电池数量就是甲的2倍，$\therefore 2(x - 9)=y + 9$. $\therefore$根据题意可列方程组为$\begin{cases}x - y = 7\\2(x - 9)=y + 9\end{cases}$. 故选D.

15.（2023黑龙江伊春中考，7，★★☆）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购$A,B,C$三种图书，$A$种每本30元，$B$种每本25元，$C$种每本20元，其中$A$种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 （ ）
A.5种
B.6种
C.7种
D.8种

答案： B 当购买5本A种图书时，设购买$x$本B种图书，$y$本C种图书，根据题意得$30×5 + 25x + 20y = 500$，$\therefore x = 14-\frac{4}{5}y$，$\because x$，$y$均为正整数，$\therefore \begin{cases}x = 10\\y = 5\end{cases}$或$\begin{cases}x = 6\\y = 10\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2\\y = 15\end{cases}$. $\therefore$当购买5本A种图书时，有3种采购方案. 当购买6本A种图书时，设购买$m$本B种图书，$n$本C种图书，根据题意得$30×6 + 25m + 20n = 500$，$\therefore n = 16-\frac{5}{4}m$，$\because m$，$n$均为正整数，$\therefore \begin{cases}m = 4\\n = 11\end{cases}$或$\begin{cases}m = 8\\n = 6\end{cases}$或$\begin{cases}m = 12\\n = 1\end{cases}$. $\therefore$当购买6本A种图书时，有3种采购方案. $\therefore$此次采购的方案有$3 + 3 = 6$（种）. 故选B.

16.（2024安徽合肥四十六中期末，23，★★☆）无论$k$取何值时，关于$x,y$的方程$(k - 1)x + (k + 1)y - k + 3 = 0$均有解，为$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$，则$m^{2024} + n^{2024}$的值为________.（M7209001）

答案： 答案 $2^{2024}+1$ 解析 把$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$代入方程$(k - 1)x+(k + 1)y - k + 3 = 0$得$m(k - 1)+n(k + 1)-k + 3 = 0$，整理得$(m + n - 1)k = m - n - 3$，$\because$无论$k$取何值时，关于$x$，$y$的方程$(k - 1)x+(k + 1)y - k + 3 = 0$均有解，为$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$，$\therefore m + n - 1 = 0$，$m - n - 3 = 0$，解得$m = 2$，$n = -1$，$\therefore m^{2024}+n^{2024}=2^{2024}+(-1)^{2024}=2^{2024}+1$.

17.整体思想（2022山东枣庄山亭期末，15，★★☆）若方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解为$\begin{cases}a = 8.3\\b = 1.2\end{cases}$，则方程组$\begin{cases}2(x + 2) - 3(y - 1) = 13\\3(x + 2) + 5(y - 1) = 30.9\end{cases}$的解是________.

答案： 答案 $\begin{cases}x = 6.3\\y = 2.2\end{cases}$ 解析 在方程组$\begin{cases}2(x + 2)-3(y - 1)=13\\3(x + 2)+5(y - 1)=30.9\end{cases}$中，设$x + 2 = m$，$y - 1 = n$，则方程组变形为$\begin{cases}2m - 3n = 13\\3m + 5n = 30.9\end{cases}$. $\because$方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解为$\begin{cases}a = 8.3\\b = 1.2\end{cases}$，$\therefore \begin{cases}x + 2 = 8.3\\y - 1 = 1.2\end{cases}$，$\therefore \begin{cases}x = 6.3\\y = 2.2\end{cases}$.

18.运算能力 小红和小明两人共同解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15,①\\4x - by = -2.②\end{cases}$
小明说：“我看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}$”
小红说：“我看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$”
根据以上他们的对话内容，请你试求出$a,b$正确的值，并计算$a^{2022} + (-\frac{1}{10}b)^{2023}$的值.（M7209001）

答案： 解析 因为小明看错了①中的$a$，所以$\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}$满足方程②，即$4×(-3)-b×(-1)= -2$，解得$b = 10$. 因为小红看错了②中的$b$，所以$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$满足方程①，即$5a + 5×4 = 15$，解得$a = -1$，所以$a^{2022}+(-\frac{1}{10}b)^{2023}=(-1)^{2022}+(-\frac{1}{10}×10)^{2023}=1+(-1)=0$.