《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

例题 将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1),将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分,将①和②两部分拼成一个长方形(如图2),解答下列问题:
(1)利用阴影面积可以验证的乘法公式是________.
(2)利用(1)中得到的公式,计算:$2 023^{2}$-2 022×2 024.

答案： 解析：
(1)$\because$题图 1 中阴影部分的面积为$a^{2} - b^{2}$；题图 2 中阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$，$\therefore a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。故答案为$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。
(2)$2023^{2} - 2022×2024 = 2023^{2} - (2023 - 1)×(2023 + 1) = 2023^{2} - (2023^{2} - 1) = 2023^{2} - 2023^{2} + 1 = 1$。

1.梯形变长方形 (2023广东韶关曲江期中)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)上述操作能验证的等式是________(只填序号).
①$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2};②a^{2}-b^{2}=(a + b)·(a - b);③(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$.
(2)①已知$x^{2}-4y^{2}$=18,x + 2y = 4,求x - 2y的值.
②计算:$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{19^{2}})×(1-\frac{1}{20^{2}}).$

答案： 解析：
(1)题图 1 中，边长为$a$的正方形的面积为$a^{2}$，边长为$b$的正方形的面积为$b^{2}$，$\therefore$题图 1 中阴影部分的面积为$a^{2} - b^{2}$。题图 2 中长方形的长为$a + b$，宽为$a - b$，$\therefore$题图 2 中阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$，$\therefore$验证的等式是$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，故答案为②。
(2)①$x^{2} - 4y^{2} = (x + 2y)(x - 2y) = 18$，$\because x + 2y = 4$，$\therefore 4(x - 2y) = 18$，$\therefore x - 2y = \frac{9}{2}$。 ②原式$=(1 + \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{3})×\cdots×(1 + \frac{1}{19})×(1 - \frac{1}{19})×(1 + \frac{1}{20})×(1 - \frac{1}{20}) = \frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\cdots×\frac{20}{19}×\frac{18}{19}×\frac{21}{20}×\frac{19}{20} = \frac{1}{2}×\frac{21}{20} = \frac{21}{40}$。

2.【探究】如图①,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成图②的长方形.比较两图的阴影部分面积,可以验证的等式为________(用字母a、b表示).
【应用】请应用这个公式完成下列各题:
①已知2m - n = 3,2m + n = 4,则$4m^{2}-n^{2}$的值为________.
②计算:$(x - 3)(x + 3)(x^{2}+9)$.
【拓展】计算$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×…×(2^{32}+1)$的结果为________.

答案： 解析： 【探究】$\because$题图①中阴影部分的面积为$a^{2} - b^{2}$，题图②中阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$，$\therefore a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。故答案为$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。 【应用】①因为$(2m - n)(2m + n) = 4m^{2} - n^{2}$，$2m - n = 3$，$2m + n = 4$，所以$4m^{2} - n^{2} = 3×4 = 12$。故答案为 12。 ②$(x - 3)(x + 3)(x^{2} + 9) = (x^{2} - 9)(x^{2} + 9) = x^{4} - 81$。 【拓展】$(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)×\cdots×(2^{32} + 1) = (2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)×\cdots×(2^{32} + 1) = (2^{2} - 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)×\cdots×(2^{32} + 1) = (2^{4} - 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)×\cdots×(2^{32} + 1) = (2^{8} - 1)×(2^{8} + 1)×\cdots×(2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$。故答案为$2^{64} - 1$。