《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

21.（2024河南驻马店月考）（10分）已知$A$、$B$均为整式，$A=(xy + 1)(xy - 2)-2x^{2}y^{2}+2$，小马在计算$A\div B$时，误把“$\div$”抄成了“$-$”，这样他计算的正确结果为$-x^{2}y^{2}$。
（1）将整式$A$化为最简形式。
（2）求整式$B$。
（3）求$A\div B$的正确结果。

答案： 解析
(1) $A=(xy + 1)(xy - 2)-2x^{2}y^{2}+2=x^{2}y^{2}-2xy+xy - 2 - 2x^{2}y^{2}+2=-x^{2}y^{2}-xy$.
(2) 由题意，得$A - B=-x^{2}y^{2}$. 由
(1)知$A=-x^{2}y^{2}-xy$，$\therefore -x^{2}y^{2}-xy - B=-x^{2}y^{2}$，$\therefore B=-xy$.
(3) 由
(1)知$A=-x^{2}y^{2}-xy$，由
(2)知$B=-xy$. $\therefore A\div B=(-x^{2}y^{2}-xy)\div(-xy)=xy + 1$.

22.（2023山西太原期中）（12分）阅读下列材料，完成相应的任务。（M7211002）
平衡多项式的定义：对于一组多项式$x + a$，$x + b$，$x + c$，$x + d$（$a$，$b$，$c$，$d$是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数$p$时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，$p$的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子。
例如：对于多项式$x + 1$，$x + 2$，$x + 5$，$x + 6$，因为$(x + 1)(x + 6)-(x + 2)(x + 5)=(x^{2}+7x + 6)-(x^{2}+7x + 10)= -4$，所以多项式$x + 1$，$x + 2$，$x + 5$，$x + 6$是一组平衡多项式，其平衡因子为$|-4| = 4$。
任务：
（1）小明发现多项式$x + 3$，$x + 4$，$x + 6$，$x + 7$是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：$(x + 3)(x + 7)-(x + 4)(x + 6)$，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子。
（2）判断多项式$x - 1$，$x - 2$，$x - 4$，$x - 5$是不是一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由。
（3）若多项式$x + 2$，$x - 4$，$x + 1$，$x + m$（$m$是常数）是一组平衡多项式，求$m$的值。

答案： 解析
(1) $(x + 3)(x + 7)-(x + 4)(x + 6)=x^{2}+10x + 21-x^{2}-10x - 24=-3$，$\because\vert - 3\vert = 3$，$\therefore$该组平衡多项式的平衡因子是3.
(2) 多项式$x - 1$，$x - 2$，$x - 4$，$x - 5$是一组平衡多项式. $\because(x - 1)(x - 5)-(x - 2)(x - 4)=x^{2}-6x + 5-x^{2}+6x - 8=-3$，$\therefore$多项式$x - 1$，$x - 2$，$x - 4$，$x - 5$是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡因子是$\vert - 3\vert = 3$.
(3) 多项式$x + 2$，$x - 4$，$x + 1$，$x + m$（$m$是常数）是一组平衡多项式，有三种情况： ①$(x + 2)(x - 4)-(x + 1)(x + m)=x^{2}-2x - 8-x^{2}-(1 + m)x - m=(-3 - m)x - 8 - m$. $\because x + 2$，$x - 4$，$x + 1$，$x + m$（$m$是常数）是一组平衡多项式，$\therefore - 3 - m = 0$，$\therefore m=-3$. ②$(x + 2)(x + 1)-(x - 4)(x + m)=x^{2}+3x + 2-x^{2}-(m - 4)x + 4m=(7 - m)x + 2 + 4m$. $\because x + 2$，$x - 4$，$x + 1$，$x + m$（$m$是常数）是一组平衡多项式，$\therefore 7 - m = 0$，$\therefore m = 7$. ③$(x + 2)(x + m)-(x + 1)(x - 4)=x^{2}+(2 + m)x + 2m-x^{2}+3x + 4=(5 + m)x + 2m + 4$. $\because x + 2$，$x - 4$，$x + 1$，$x + m$（$m$是常数）是一组平衡多项式，$\therefore 5 + m = 0$，$\therefore m=-5$. 综上所述，$m$的值为$-3$或$7$或$-5$.