《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

16.平行线+角平分线模型 (2024山东德州德城五月月考,22,★★☆)如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC,交AC于点E.
(1)求证:∠1 = ∠2.
(2)若∠AED = 64°,求∠DCB的度数.

答案： 解析 （1）证明：因为CD平分∠ACB，所以∠BCD = ∠2，因为DE//BC，所以∠BCD = ∠1，所以∠1 = ∠2。 （2）因为DE//BC，∠AED = 64°，所以∠ACB = ∠AED = 64°，因为CD平分∠ACB，所以∠DCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 32°。

17.推理能力 新考向·项目学习试题 (2024山东青岛城阳期末)【发现问题】
如图①,小明同学在做光的折射实验时发现:平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.

【提出问题】
小明提出:∠BPD,∠ABP和∠CDP之间存在着怎样的数量关系?
【分析问题】
已知平行,可以利用平行线的性质,把∠BPD分成两部分进行研究.
【解决问题】
探究一:请你帮小明解决这个问题,并说明理由.
探究二:如图②,∠P,∠AMP,∠CNP的数量关系为__________.
如图③,已知∠ABC = 25°,∠C = 60°,AE//CD,则∠BAE = __________°.(不需要写解答过程)
【拓展提升】
利用探究一得到的结论解决下列问题:
如图④,射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP,ME交直线CD于点E,NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F,若∠P = 2∠F,求∠FME的度数.

答案： 解析 探究一：∠BPD = ∠ABP + ∠CDP，理由如下：因为AB//MN//CD，所以∠BPN = ∠ABP，∠DPN = ∠CDP，所以∠BPN + ∠DPN = ∠ABP + ∠CDP，所以∠BPD = ∠ABP + ∠CDP。 探究二：∠AMP = ∠P + ∠CNP；145。 详解：如图1，因为AB//CD，所以∠MKP = ∠CNP，因为∠P + ∠PKM + ∠PMK = 180°，∠PMK + ∠PMA = 180°，所以∠AMP = ∠P + ∠MKP，所以∠AMP = ∠P + ∠CNP。 如图2，延长EA交BC于L，因为AE//CD，所以∠ALC = ∠C = 60°，所以∠ALB = 180° - ∠ALC = 120°，因为∠BAL + ∠B + ∠ALB = 180°，所以∠BAL = 35°，所以∠BAE = 180° - 35° = 145°。 【拓展提升】因为射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，所以∠PME = $\frac{1}{2}$∠PMB，∠CNF = ∠PNF，由探究一的结论得∠P = ∠AMF + ∠PMF + ∠CNF + ∠PNF，∠F = ∠AMF + ∠CNF，因为∠P = 2∠F，所以∠AMF + ∠PMF + ∠CNF + ∠PNF = 2∠AMF + 2∠CNF，因为∠CNF = ∠PNF，所以∠AMF + ∠PMF = 2∠AMF，所以∠PMF = ∠AMF = $\frac{1}{2}$∠AMP，所以∠PMF + ∠PME = $\frac{1}{2}$(∠AMP + ∠PMB)，所以∠FME = $\frac{1}{2}$∠AMB = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。