《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

15.（三角尺拼接模型）（2023江西宜春樟树期中，16，★★☆）将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. 求证：CF//AB. (M7208004)

答案： 证明：因为 CF 平分∠DCE，∠DCE = 90°，所以∠FCE = $\frac{1}{2}$∠DCE = 45°。因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠ABC = 45°。所以∠ABC = ∠FCE，所以 CF//AB。

16.（2024江西赣州定南期末，17，★★☆）如图，∠B = 50°，CG平分∠DCF，∠DCG = 65°，求证：AB//EF.

答案： 证明：因为 CG 平分∠DCF，∠DCG = 65°，所以∠DCF = 2∠DCG = 130°，所以∠BCE = ∠DCF = 130°，因为∠B = 50°，所以∠B + ∠BCE = 180°，所以 AB//EF。

17.（推理能力）（2024广西梧州苍梧期末）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，交DE于点D.
（1）试说明OC⊥OD.
（2）若∠D与∠1互余，试说明ED//AB.

答案： 证明：（1）因为 OC 平分∠AOF，OD 平分∠BOF，所以∠COF = $\frac{1}{2}$∠AOF，∠DOF = $\frac{1}{2}$∠BOF。因为∠AOF + ∠BOF = 180°，所以∠COD = ∠COF + ∠DOF = $\frac{1}{2}$(∠AOF + ∠BOF) = 90°，所以 OC⊥OD。（2）由（1）知∠COD = 90°，所以∠1 + ∠DOB = 90°，因为∠D 与∠1 互余，所以∠D + ∠1 = 90°，所以∠D = ∠DOB，所以 ED//AB。

18.（推理能力）直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠BAF = 110°.
（1）如图①，若∠DCF = 70°，判断射线AB与CD之间的位置关系，并说明理由.
（2）如图②，若∠DCF = 60°，射线AB、CD分别绕A点、C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设转动时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某一时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的转动时间；若不存在，请说明理由.

答案： 解析：（1）AB//CD。理由：因为∠DCF = 70°，所以∠ACD = 180° - ∠DCF = 110°，因为∠BAF = 110°，所以∠BAF = ∠ACD，所以 AB//CD。（2）存在。射线 CD 转动一周所用的时间为 360÷6 = 60 秒，在这段时间内，射线 AB 一直在 EF 的右侧，分以下情况：如图 1，CD 还未转到 EF 的右侧时，因为(180 - 60)÷6 = 20，所以 0≤t≤20。由题意知∠ACD = (180 - 60 - 6t)° = (120 - 6t)°，∠BAC = (110 - t)°，要使 AB//CD，需∠ACD = ∠BAC，即 120 - 6t = 110 - t，解得 t = 2。如图 2，CD 旋转到 EF 的右侧时，因为(360 - 60)÷6 = 50，所以 20＜t＜50。由题意知∠DCF = (360 - 6t - 60)° = (300 - 6t)°，∠BAC = (110 - t)°，要使 AB//CD，需∠DCF = ∠BAC，即 300 - 6t = 110 - t，解得 t = 38。当 CD 从射线 CF 处转到 EF 左侧时，50≤t≤60，易知 CD 与 AB 不平行。 综上所述，当转动时间为 2 秒或 38 秒时，CD 与 AB 平行。