《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

1.（2023浙江杭州中考）分解因式：$4a^{2}-1$ =（ ）
A.$(2a - 1)(2a + 1)$
B.$(a - 2)(a + 2)$
C.$(a - 4)(a + 1)$
D.$(4a - 1)(a + 1)$

答案： A $4a^{2}-1=(2a)^{2}-1^{2}=(2a - 1)(2a + 1)$。 故选A。

2.（2023山东泰安泰山期末）下列多项式中，可以用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A.$x^{2}+4y^{2}$
B.$-9x^{2}-y^{2}$
C.$4x - y^{2}$
D.$-16x^{2}+25y^{2}$

答案： D 根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$可知，$x^{2}+4y^{2}$，$-9x^{2}-y^{2}$，$4x - y^{2}$不能用平方差公式进行因式分解，$-16x^{2}+25y^{2}=(5y + 4x)(5y - 4x)$，故$-16x^{2}+25y^{2}$能用平方差公式进行因式分解。 故选D。

3.一次课堂练习中，小张做了如下4道因式分解的题目，你认为小张做得不够完整的一题是（ ）
A.$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$
B.$x^{2}y - xy^{2}=xy(x - y)$
C.$1 - 4x^{2}=(1 + 2x)(1 - 2x)$
D.$x^{3}-x=x(x^{2}-1)$

答案： D A.$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，正确； B.$x^{2}y-xy^{2}=xy(x - y)$，正确； C.$1 - 4x^{2}=(1 + 2x)(1 - 2x)$，正确； D.$x^{3}-x=x(x + 1)(x - 1)$，小张做得不完整。故选D。

4.（2024山东济南钢城期末）分解因式：$m^{2}-36$ = ________.（M7211002）

答案： 答案 $(m - 6)(m + 6)$ 解析 $m^{2}-36=(m - 6)(m + 6)$。

5.分解因式：（M7211002）
（1）$3x - 12x^{3}$. （2）$(a + b)^{2}-c^{2}$.

答案： 解析
(1)$3x-12x^{3}=3x(1 - 4x^{2})=3x(1 + 2x)(1 - 2x)$。
(2)$(a + b)^{2}-c^{2}=[(a + b)+c][(a + b)-c]=(a + b + c)(a + b - c)$。

6.（2024山东滨州邹平魏桥实验学校期末）因式分解：
（1）$x^{3}-25x$. （2）$9a^{2}(x - y)+4b^{2}(y - x)$.

答案： 解析
(1)$x^{3}-25x$ $=x(x^{2}-25)$ $=x(x + 5)(x - 5)$。
(2)$9a^{2}(x - y)+4b^{2}(y - x)$ $=9a^{2}(x - y)-4b^{2}(x - y)$ $=(x - y)(9a^{2}-4b^{2})$ $=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$。

7.（2023湖南益阳中考改编，9，★☆☆）下列因式分解正确的是（ ）
A.$2a^{2}-4a=2a(a - 2)$
B.$a^{2}+ab + a=a(a + b)$
C.$4a^{2}-b^{2}=(4a + b)(4a - b)$
D.$a^{3}b - ab^{3}=ab(a - b)^{2}$

答案： A A选项，$2a^{2}-4a=2a(a - 2)$，正确； B选项，$a^{2}+ab + a=a(a + b + 1)$，错误； C选项，$4a^{2}-b^{2}=(2a + b)(2a - b)$，错误； D选项，$a^{3}b-ab^{3}=ab(a^{2}-b^{2})=ab(a + b)(a - b)$，错误。 故选A。

8.（2024安徽安庆太湖月考，8，★☆☆）若$k$为任意整数，则$(k + 5)^{2}-k^{2}$的值总能（ ）
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除

答案： C $\because(k + 5)^{2}-k^{2}=(k + 5 + k)(k + 5 - k)=5(2k + 5)$，$k$为任意整数，$\therefore(k + 5)^{2}-k^{2}$的值总能被5整除。故选C。

9.（2024山东淄博张店六中月考，9，★☆☆）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了$x$的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且原式能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是$x^{\square}-4y^{2}$（“$\square$”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（M7211002）（ ）
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种

答案： D 能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的指数只能是偶数， 又因为该数为不大于10的正整数，所以该指数可能是2或4或6或8或10。 故选D。

10.（2023福建泉州期末改编，16，★★☆）已知$x\neq y$，且满足两个等式$x^{2}-2y = 2021^{2}$，$y^{2}-2x = 2021^{2}$，则$(x + y)^{2}$的值为________.

答案： 答案 4 解析 $\begin{cases}x^{2}-2y = 2021^{2}①\\y^{2}-2x = 2021^{2}②\end{cases}$， ① - ②得$x^{2}-y^{2}+2x - 2y = 0$， $\therefore(x + y)(x - y)+2(x - y)=0$， $\therefore(x - y)(x + y + 2)=0$， $\because x\neq y$，$\therefore x + y + 2 = 0$，即$x + y=-2$，$\therefore(x + y)^{2}=4$。故答案为4。

11.运算能力 新考向·新定义试题 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，$28 = 8^{2}-6^{2}$，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”.
（1）36________“智慧数”.（填“是”或“不是”）
（2）设两个连续偶数是$2n$和$2n + 2$（其中$n$取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？
（3）如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形$ABCD$，其边长为100，求阴影部分的面积.
 

答案： 解析
(1)$36 = 10^{2}-8^{2}$，$\therefore36$是“智慧数”， 故答案为是。
(2)$\because(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=(2n + 2 + 2n)(2n + 2 - 2n)=2(4n + 2)=4(2n + 1)$， $\therefore$这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数。
(3)$(4^{2}-2^{2})+(8^{2}-6^{2})+(12^{2}-10^{2})+\cdots+(100^{2}-98^{2})=4\times3 + 4\times7 + 4\times11+\cdots+4\times99=4\times(3 + 7 + 11+\cdots+99)=4\times\frac{1}{2}\times(3 + 99)\times25 = 5100$。 $\therefore$阴影部分的面积是5100。