《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

16.运算能力 我们把关于$x$，$y$的两个二元一次方程$x + ky = b$与$kx + y = b(k \neq 1)$叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组$\begin{cases}x + ky = b\\kx + y = b\end{cases}$叫作共轭二元一次方程组.
（1）若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = b + 2\\(1 - a)x + y = 3\end{cases}$为共轭二元一次方程组，则$a =$_______，$b =$_______.
（2）若二元一次方程$x + ky = b$中$x$，$y$的值满足当$x = 2$时，$y = 0$；当$x = 0$时，$y = 1$，则这个方程的共轭二元一次方程是_______.
（3）方程组$\begin{cases}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{cases}$的解为_______.
（4）方程组$\begin{cases}3x + 2y = -10\\2x + 3y = -10\end{cases}$的解为_______.
（5）方程组$\begin{cases}2x - y = 4\\-x + 2y = 4\end{cases}$的解为_______.
（6）发现：若共轭二元一次方程组$\begin{cases}x + ky = b\\kx + y = b\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$，则$m$，$n$之间的数量关系是_______.
（7）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并写出它的解.

答案： 解析
(1)
∵$\begin{cases}x + 2y = b + 2\\(1 - a)x + y = 3\end{cases}$是共轭二元一次方程组，
∴1 - a = 2，b + 2 = 3，解得a = -1，b = 1.
(2) 将x = 2，y = 0；x = 0，y = 1代入方程x + ky = b中，得2 = b，k = b，
∴k = b = 2，
∴二元一次方程是x + 2y = 2，
∴其共轭二元一次方程是2x + y = 2.
(3)$\begin{cases}x + 2y = 3①\\2x + y = 3②\end{cases}$ ①×2，得2x + 4y = 6③，③ - ②，得3y = 3，即y = 1， 将y = 1代入①，解得x = 1，
∴方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$.
(4)$\begin{cases}3x + 2y = -10①\\2x + 3y = -10②\end{cases}$ ①×2，得6x + 4y = -20③，②×3，得6x + 9y = -30④， ④ - ③，得5y = -10，则y = -2，将y = -2代入①，解得x = -2，
∴方程组的解为$\begin{cases}x = -2\\y = -2\end{cases}$.
(5)$\begin{cases}2x - y = 4①\\-x + 2y = 4②\end{cases}$ ①×2，得4x - 2y = 8③，② + ③，得3x = 12，则x = 4， 将x = 4代入①，解得y = 4，
∴方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 4\end{cases}$.
(6)
∵$\begin{cases}x + ky = b\\kx + y = b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$，
∴$\begin{cases}m + kn = b①\\km + n = b②\end{cases}$， ① - ②，得(1 - k)m + (k - 1)n = 0，
∴(1 - k)(m - n) = 0，
∵k ≠ 1，
∴m = n.
(7) 答案不唯一，如$\begin{cases}x - 2y = 1①\\-2x + y = 1②\end{cases}$ ①×2，得2x - 4y = 2③，② + ③，得 - 3y = 3，则y = -1， 将y = -1代入①，解得x = -1，
∴方程组的解为$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$.

例题 （2024江西吉安期末）若关于$x$、$y$的方程组$\begin{cases}3x - 2y = 2k - 3\\2x + 7y = 3k - 2\end{cases}$的解满足$x + y = 2 023$，则$k$等于 （ ）
A.2 021
B.2 022
C.2 023
D.2 024

答案： D $\begin{cases}3x - 2y = 2k - 3①\\2x + 7y = 3k - 2②\end{cases}$，① + ②得5x + 5y = 5k - 5，
∴x + y = k - 1，
∵x + y = 2023，
∴k - 1 = 2023，
∴k = 2024. 故选D.

已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x + 5y = k + 2\\2x + 3y = k\end{cases}$，若$x$与$y$的值之和等于2，则$k$的值为 （ ）
A.4
B.-4
C.3
D.-3

答案： A $\begin{cases}3x + 5y = k + 2①\\2x + 3y = k②\end{cases}$ ①×2 - ②×3得y = -k + 4， 把y = -k + 4代入②，解得x = 2k - 6，
∵x与y的值之和等于2，
∴x + y = 2k - 6 + (-k + 4) = 2， 解得k = 4. 故选A.