《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

1.(2023 山东烟台莱阳期中)在学习完全平方公式后,我们对公式的运用作进一步探讨,请你阅读下列解题思路:
例 1:已知 $a + b = 4$, $ab = 3$,求 $a^{2}+b^{2}$的值.
解:$\because a + b = 4$, $ab = 3$,$\therefore a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 4^{2}-2\times3 = 10$.
例 2:若 $y$ 满足 $(10 - y)(y - 2)=16$,求 $(10 - y)^{2}+(y - 2)^{2}$的值.
解:设 $10 - y = a$, $y - 2 = b$,则 $a + b=(10 - y)+(y - 2)=8$, $ab=(10 - y)(y - 2)=16$.
这样就可以利用例 1 中的方法进行求值了.请结合以上两个例题解答下列问题:
(1)若 $a + b = 8$, $ab = 12$,求 $a^{2}+b^{2}$的值.
(2)若 $x$ 满足 $(18 - x)(x - 5)=30$,求 $(18 - x)^{2}+(x - 5)^{2}$的值.

答案： 解析 （1）
∵ $a + b = 8$，$ab = 12$，
∴ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2×12 = 64$，
∴ $a^2 + b^2 = 64 - 24 = 40$。 （2）设 $18 - x = a$，$x - 5 = b$，则 $a + b = 13$， 根据题意得 $(18 - x)(x - 5) = ab = 30$，
∴ $(18 - x)^2 + (x - 5)^2$ $= a^2 + b^2$ $= (a + b)^2 - 2ab$ $= 13^2 - 2×30$ $= 109$。

2.计算:
(1)$899\times901 + 1$.
(2)$1965^{2}+1965\times70 + 35^{2}$.
(3)$9\times11\times101\times10001$.

答案： 解析 （1）原式 = $(900 - 1)×(900 + 1) + 1 = 810000$。 （2）原式 = $1965^2 + 2×1965×35 + 35^2 = (1965 + 35)^2 = 4000000$。 （3）原式 = $(10 - 1)×(10 + 1)×(100 + 1)×(10000 + 1) = (100 - 1)×(100 + 1)×(10000 + 1) = (10000 - 1)×(10000 + 1) = 10^8 - 1$。

3.已知 $x + y = 3$, $x^{2}-y^{2}=21$,求 $x^{3}+12y^{3}$的值.

答案： 解析 因为 $x + y = 3$，$x^2 - y^2 = 21$， 所以 $x - y = 21÷3 = 7$。 联立$\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 7\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = -2\end{cases}$。 当 $x = 5$，$y = -2$ 时，$x^3 + 12y^3 = 5^3 + 12×(-2)^3 = 125 - 96 = 29$。