《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册青岛版》

13. 抽象能力 如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF = $\frac{1}{3}$∠AOD.（M7208002）
（1）如图1，若∠AOC = 120°，求∠EOC的度数.
（2）如图2，若∠AOC = α（60°＜α＜180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°到OB.
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）.
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系.
（3）如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°到OB，求∠AOC，∠EOB之间的数量关系.

答案：
解析：（1）因为∠AOC = 120°，所以∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 120° = 60°，因为∠DOF = 1/3∠AOD，所以∠DOF = 20°，所以∠EOC = ∠DOF = 20°。（2）①因为∠AOC = α，所以∠AOD = 180° - α，因为∠DOF = 1/3∠AOD，所以∠DOF = 60° - 1/3α，所以∠EOC = ∠DOF = 60° - 1/3α，由题意得∠AOB = 60°，所以∠BOC = α - 60°，所以∠EOB = ∠EOC + ∠BOC = 60° - 1/3α + α - 60° = 2/3α。②观察①中结果可得∠EOB = 2/3∠AOC。（3）分情况讨论：\n①当0° ＜ ∠AOC ≤ 90°时，如图1，因为∠AOD = 180° - ∠AOC，∠DOF = 1/3∠AOD，所以∠DOF = 60° - 1/3∠AOC，所以∠EOC = ∠DOF = 60° - 1/3∠AOC，因为∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = ∠AOC + 60°，所以∠EOB = ∠EOC + ∠BOC = 60° - 1/3∠AOC + ∠AOC + 60° = 2/3∠AOC + 120°。②当90° ＜ ∠AOC ＜ 120°时，如图2，因为∠AOD = 180° - ∠AOC，∠DOF = 1/3∠AOD，所以∠DOF = 60° - 1/3∠AOC，所以∠EOC = ∠DOF = 60° - 1/3∠AOC，因为∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = ∠AOC + 60°，所以∠EOC + ∠BOC = 60° - 1/3∠AOC + ∠AOC + 60° = 2/3∠AOC + 120°，所以∠EOB = 360° - (∠EOC + ∠BOC) = 360° - (2/3∠AOC + 120°) = 240° - 2/3∠AOC。 综上，∠AOC与∠EOB之间的数量关系为∠EOB = 2/3∠AOC + 120°或∠EOB = 240° - 2/3∠AOC。

14. 几何直观 已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系.
（1）如图1，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1与∠2的数量关系是_______________.
（2）如图2，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1与∠2的数量关系是_______________. 说明理由.
（3）由（1）（2）得出的结论是如果____________________，那么____________________.
（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数.

答案：
解析：（1）∠1 = ∠2. 详解：如图1，因为AB⊥DE，BC⊥EF，所以∠EGB = 90°，∠EHB = 90°，因为∠2 + ∠4 + 90° = 180°，∠1 + ∠3 + 90° = 180°，∠3 = ∠4，所以∠1 = ∠2。（2）∠1 + ∠2 = 180°. 理由：如图2，连接BE，因为AB⊥DE，BC⊥EF，所以∠EGB = 90°，∠EHB = 90°，因为∠GBE + ∠GEB + 90° = 180°，∠HBE + ∠HEB + 90° = 180°，所以∠GBE + ∠GEB + ∠HBE + ∠HEB = 180°，所以∠1 + ∠2 = 180°。（3）由（1）（2）得出的结论是如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。（4）设另一个角的度数为α，则一个角的度数为3α - 40°，根据题意可得α = 3α - 40°或α + 3α - 40° = 180°，解得α = 20°或55°，当α = 20°时，3α - 40° = 20°，当α = 55°时，3α - 40° = 125°，所以这两个角的度数分别为20°、20°或55°、125°。