《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

12. 如图是某公园跷跷板的简易图,$ O $ 为跷跷板 $ AB $ 的中点,支柱 $ OC $ 与地面垂直,当跷跷板 $ A $ 端着地时,$ \angle BAC = 27^{\circ} $,$ AC = 0.9m $,则 $ AB $ 的长为(B)

A.$ \frac{0.9}{\cos 27^{\circ}} $
B.$ \frac{1.8}{\cos 27^{\circ}} $
C.$ 1.8\cos 27^{\circ} $
D.$ \frac{1.8}{\sin 27^{\circ}} $

答案： B

13. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ BC = 5 $,$ CD \perp AB $ 于 $ D $,$ AC = 12 $,试求：
(1)$ \sin A $ 的值；

(2)$ \cos \angle ACD $ 的值；
(3)$ CD $ 的值。

答案：
(1)解：由BC=5，AC=12，得AB=13，sinA=5/13.
(2)cos∠ACD=sin(90°-∠ACD)=sinA=5/13.
(3)
∵sinA=CD/AC，
∴CD=AC·sinA=12×5/13=60/13.（或由面积公式，得1/2×13×CD=1/2×12×5，解得CD=60/13.)

14. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ AC = 6cm $,$ \angle C = 75^{\circ} $,$ \angle B = 45^{\circ} $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： 解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠ACB=75°，∠B=45°，
∴∠A=60°. 则在Rt△ADC中，CD=AC·sin60°=3√3cm，AD=AC·cos60°=3cm，在Rt△BDC中，∠B=45°，BD=CD=3√3cm，
∴AB=AD+DB=(3+3√3)cm.
∴△ABC的面积为1/2AB·CD=1/2(3+3√3)×3√3=(9√3+27)/2(cm²).

15.(核心素养·推理能力)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题：
$ \sin^{2}A_{1} + \cos^{2}A_{1} = $1；$ \sin^{2}A_{2} + \cos^{2}A_{2} = $1；$ \sin^{2}A_{3} + \cos^{2}A_{3} = $1。
(1)观察上述等式,猜想：在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,都有 $ \sin^{2}A + \cos^{2}A = $1；
(2)如图 ④,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的对边分别是 $ a $,$ b $,$ c $,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想；
(3)若 $ 0^{\circ} \lt \angle A \lt 90^{\circ} $,且 $ \sin A \cdot \cos A = \frac{12}{25} $,求 $ \sin A + \cos A $ 的值。

(2)证明：
∵sin²A+cos²A=(a/c)²+(b/c)²，
∴sin²A+cos²A=(a²+b²)/c²=c²/c²=1.
(3)解：
∵(sinA+cosA)²=sin²A+cos²A+2sinAcosA，
∴(sinA+cosA)²=1+24/25=49/25，
∵sinA+cosA＞0，
∴sinA+cosA=7/5.

答案： 1 1 1
(1)1
(2)证明：
∵sin²A+cos²A=(a/c)²+(b/c)²，
∴sin²A+cos²A=(a²+b²)/c²=c²/c²=1.
(3)解：
∵(sinA+cosA)²=sin²A+cos²A+2sinAcosA，
∴(sinA+cosA)²=1+24/25=49/25，
∵sinA+cosA＞0，
∴sinA+cosA=7/5.