《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

三边对应成比例的两个三角形相似,如：在$\triangle ABC和\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$中,已知$\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}=\frac{CA}{C^{\prime}A^{\prime}}$,那么$\triangle ABC\backsim\triangle$A'B'C'.

答案： 成比例 A'B'C'

1. 一个三角形的三边分别为$1$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{5}$,另一个三角形的三边分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$5$,则这两个三角形(A)
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断是否相似

答案： A

2. 若$\triangle ABC各边分别为AB = 10\mathrm{cm}$,$BC = 8\mathrm{cm}$,$AC = 6\mathrm{cm}$,$\triangle DEF的两边为DE = 5\mathrm{cm}$,$EF = 4\mathrm{cm}$,则当$DF = $3$\mathrm{cm}$时,$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$.

答案： 3

3. 在$\triangle ABC$中,$AB = 63\mathrm{cm}$,$BC = 54\mathrm{cm}$,$CA = 45\mathrm{cm}$,与$\triangle ABC相似的另一个三角形的最短的边长为15\mathrm{cm}$,则它的最长的边长为21cm.

答案： 21cm

4. (教材第 85 页练习第 2 题变式)如图所示,根据所给条件,判断$\triangle ABC和\triangle DBE$是否相似,并说明理由.

答案： 解:△ABC∽△DBE. 理由如下:
∵$\frac{AC}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,$\frac{BC}{BE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,$\frac{AB}{DB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}=\frac{AB}{DB}$,
∴△ABC∽△DBE.

5. 如图,方格纸中每个小正方形的边长均为$1$,$\triangle ABC和\triangle DEF$的顶点都在方格纸的格点上,判断$\triangle ABC和\triangle DEF$是否相似,并说明理由.

答案： 解:△ABC 和△DEF 相似;理由如下:由图形可知 AB=2,根据勾股定理得,$BC=2\sqrt{2}$,$AC=2\sqrt{5}$,$DE=\sqrt{2}$,$DF=\sqrt{10}$,$EF=2$,
∵$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\sqrt{2}$,
∴△ABC∽△DEF.

6. 如图,$AD是\triangle ABC$的高,$E$,$F分别是AB$,$AC$的中点. 求证：$\triangle DEF\backsim\triangle ABC$.

答案： 证明:
∵AD 是△ABC 的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中,E,F 分别是斜边 AB,AC 的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB,DF=$\frac{1}{2}$AC,
∵在△ABC 中,E,F 分别是 AB,AC 的中点,
∴EF=$\frac{1}{2}$BC.
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴△DEF∽△ABC.

7. 如图,给出下列条件：①$\angle B = \angle ACD$；②$\angle ADC = \angle ACB$；③$\frac{AC}{CD}= \frac{AB}{BC}$；④$AC^{2} = AD\cdot AB$；⑤$\frac{AB}{AC}= \frac{BC}{CD}= \frac{AC}{AD}$. 若只选择其中一个条件,能够判定$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$的有(C)

A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个

答案： C

8. (贵州省中考改编)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(B)

A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

答案： B