《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

7. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$\angle ABC的平分线交AC于点E$,交$AD于点F$,交$CD的延长线于点G$,若$AF = 2FD$,则$\frac{BE}{EG}$的值为 (C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： C

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AF是\angle BAC$的平分线,$D$,$E分别是边AB$,$AC$上的点,连接$DE交AF于点G$,若$\frac{AD}{AC}= \frac{AE}{AB}= \frac{2}{3}$,则$\frac{AG}{GF}= $2.

答案： 2

9. (大单元整合) 如图,正方形$OABC的边长为6$,$A$,$C分别位于x$轴,$y$轴上,点$P在AB$上,$CP交OB于点Q$,函数$y= \frac{k}{x}的图象经过点Q$,若$S_{\triangle BPQ}= \frac{1}{4}S_{\triangle OQC}$,则$k$的值为16.

答案： 16

10. (分类讨论思想) 如图,平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(8,0)和B点(0,6)$,点$C是AB$的中点,点$P在x$轴上,若以$P$、$A$、$C为顶点的三角形与\triangle AOB$相似,那么点$P$的坐标是（4,0）或（$\frac{7}{4}$,0）.

答案： （4,0）或（$\frac{7}{4}$,0）

11. 如图所示,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,点$E$,$F在线段BC$上,点$Q在线段AB$上,且$CF = BE$,$AE^{2}= AQ\cdot AB$.求证:
(1) $\angle CAE = \angle BAF$;
(2) $CF\cdot FQ = AF\cdot BQ$.

答案： （1）证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠C=∠B,\\ CE=BF,\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ABF，
∴∠CAE=∠BAF；（2）
∵△ACE≌△ABF，
∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，
∵$AE^{2}=AQ\cdot AB$，AC=AB，
∴$\frac{AE}{AQ}=\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，即CF·FQ=AF·BQ.