《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

6. (桂林市模拟)如图 1,在 $Rt \triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 8$,$BC = 6$,D 是 AB 上一点,且 $AD = 2$,过点 D 作 $DE // BC$ 交 AC 于 E,将 $\triangle ADE$ 绕 A 点顺时针旋转到图 2 的位置. 则图 2 中 $\frac{BD}{CE}$ 的值为$\frac{4}{5}$.

答案： $\frac{4}{5}$

7. (铜仁市期末)在 $Rt \triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,AD 是斜边 BC 上的高.
(1) 证明：$\triangle ABD \sim \triangle CBA$；
(2) 若 $AB = 6$,$BC = 10$,求 BD 的长.

答案：
(1)证明：
∵AD 是斜边 BC 上的高，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠BAC，又
∵∠B 为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
(2)解：由
(1)知△ABD∽△CBA，
∴$\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$，
∴$\frac{BD}{6}=\frac{6}{10}$，
∴BD=3.6.

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,点 P,D 分别是 BC,AC 边上的点,且 $\angle APD = \angle B$.
(1) 求证：$AC \cdot CD = CP \cdot BP$；
(2) 若 $AB = 10$,$BC = 12$,$PD // AB$ 时,求 BP 的长.

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B，
∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD.
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{PC}$，
∴AB·CD=CP·BP.
∵AB=AC，
∴AC·CD=CP·BP.
(2)解：
∵PD//AB，
∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C，
∴∠BAP=∠C. 又
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BP}{BA}$.
∵AB=10，BC=12，
∴$\frac{10}{12}=\frac{BP}{10}$，
∴BP=$\frac{25}{3}$.