《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. 下列方程中是一元二次方程的是 (C)
A.$2x + 1 = 0$
B.$y^{2} + x = 1$
C.$x^{2} + 1 = 0$
D.$\frac{1}{x} + x^{2} = 1$

答案： C

2. (连云港市中考)若关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2} + nx - 1 = 0(m \neq 0)$ 的一个解是 $x = 1$,则 $m + n$ 的值是1。

答案： 1

3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 10x = 24$,此方程可化为 (C)
A.$(x - 5)^{2} = 24$
B.$(x + 5)^{2} = 24$
C.$(x - 5)^{2} = 49$
D.$(x + 5)^{2} = 49$

答案： C

4. 解下列方程：
(1) $(x - 1)^{2} = 4$；
(2) $x^{2} + x - 1 = 0$。

答案： （1）解：两边直接开平方，得x-1=±2，
∴x-1=2或x-1=-2，
∴x₁=3，x₂=-1. （2）解：Δ=1+4=5，x=$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∴x₁=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.

5. (浏阳市期末)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3x + m = 0$ 有两个相等的实数根,则实数 $m$ 的值为 (C)
A.$-9$
B.$-\frac{9}{4}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$9$

答案： C

6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2} + x + 1 = 0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围是 (D)
A.$k \geq \frac{5}{4}$
B.$k ＞ \frac{5}{4}$
C.$k ＞ \frac{5}{4}$ 且 $k \neq 1$
D.$k \leq \frac{5}{4}$ 且 $k \neq 1$

答案： D

7. (趣味数学)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 $6$ 和 $1$；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是 $-2$ 和 $-5$。则原来的方程是 (B)
A.$x^{2} + 6x + 5 = 0$
B.$x^{2} - 7x + 10 = 0$
C.$x^{2} - 5x + 2 = 0$
D.$x^{2} - 6x - 10 = 0$

答案： B

8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2k + 1)x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$、$x_{2}$。
(1) 求实数 $k$ 的取值范围；
(2) 若方程两实数根 $x_{1}$、$x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{1} \cdot x_{2} = 0$,求 $k$ 的值。

答案： （1）解：因为关于x的一元二次方程x²+(2k+1)x+k²+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ=(2k+1)²-4×1×(k²+1)＞0，解得k＞$\frac{3}{4}$，所以k的取值范围是k＞$\frac{3}{4}$. （2）因为方程的两实数根为x₁、x₂，所以x₁+x₂=-2k-1，x₁x₂=k²+1. 又因为x₁+x₂+x₁·x₂=0，所以-2k-1+k²+1=0，解得k=0或2. 因为k＞$\frac{3}{4}$，所以k=2.

9. (黑龙江省中考)毕业前夕,班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信,全班一共发送 $870$ 条,这个班级的学生总人数是 (B)
A.$40$
B.$30$
C.$29$
D.$39$

答案： B

10. (芙蓉区期末)我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段,圆田一段,共积二百五十二步,只云方面圆径适等。问方(面)圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块(如图所示),面积之和为 $252$,只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等。问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为 $x$,则可列出方程为x²+π$(\frac{x}{2})$²=252。
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答案： x²+π$(\frac{x}{2})$²=252