《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

9. 若关于$x的一元二次方程(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0的一个根是x = 0$,则$a$的值为(A)
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

10. 若$a - b + c = 0$,则关于$x的一元二次方程ax^{2}-bx + c = 0(a\neq0)$必有一根是(B)
A.0
B.1
C.$-1$
D.无法确定

答案： B

11. (石峰区校级期中)若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx - 1 = 0(a\neq0)$有一根为2025,则一元二次方程$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)= 1$必有一根为2024.

答案： 2024

12. (新定义)在实数范围内定义一种运算“※”,其规则为$a※b = a^{2}-b^{2}$,根据这个规则,则方程$(x + 2)※5 = 0$的解是$x_{1}=3$,$x_{2}=-7$.

答案： $x_{1}=3$,$x_{2}=-7$

13. 解下列方程：
(1)$(2x + 3)^{2}-25 = 0$；
(2)$\frac{1}{2}(2x - 5)^{2}-2 = 0$.

答案：
(1)解:$(2x+3)^{2}=25$,$2x+3=\pm 5$,$x_{1}=1$,$x_{2}=-4$.
(2)解:$(2x-5)^{2}=4$,$2x-5=\pm 2$,$x_{1}=\dfrac{7}{2}$,$x_{2}=\dfrac{3}{2}$.

14. (郴州五中期中)已知方程$x^{2}+(m - 1)x + m - 10 = 0$的一个根是3,求$m$的值及方程的另一个根.

答案： 解:$\because$方程$x^{2}+(m-1)x+m-10=0$的一个根是3,$\therefore$方程$9+3(m-1)+m-10=0$,即$4m-4=0$,解得$m=1$.原方程可化为$x^{2}-9=0$,解得$x=\pm 3$.$\therefore$方程的另一个根为$-3$.

15. (跨学科)自由下落的物体的高度$h$(米)与下落的时间$t$(秒)的关系为$h = 4.9t^{2}$,现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落,到达地面需要多少秒？

答案： 解:根据题意,得$4.9t^{2}=19.6$,$t^{2}=4$.$\therefore t_{1}=2$,$t_{2}=-2$(舍去).答:到达地面需要2秒.

16. (天心区期末)对于实数$p$,$q$,我们用符号$\max\{p,q\}$表示$p$,$q$两数中较大的数,如：$\max\{1,2\}= 2$.
(1)$\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=$$-\sqrt{3}$；
(2)我们知道,当$m^{2}= 1$时,$m= \pm1$,利用这种方法解决下面问题：若$\max\{(x - 1)^{2},x^{2}\}= 4$,求$x$的值.
解:①当$(x-1)^{2}=4$,且$(x-1)^{2}\geqslant x^{2}$时,解得$x=-1$;②当$x^{2}=4$,且$x^{2}\geqslant (x-1)^{2}$时,解得$x=2$.综上所述,$x$的值为$-1$或2.

答案：
(1)$-\sqrt{3}$
(2)解:①当$(x-1)^{2}=4$,且$(x-1)^{2}\geqslant x^{2}$时,解得$x=-1$;②当$x^{2}=4$,且$x^{2}\geqslant (x-1)^{2}$时,解得$x=2$.综上所述,$x$的值为$-1$或2.