《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 根的情况由 $\Delta=$$b^{2}-4ac$来判断：
1. 当 $\Delta＞0$ 时,方程有两个不相等的实数根,其根为 $x_{1}=$$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x_{2}=$$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
2. 当 $\Delta = 0$ 时,方程有两个相等的实数根,其根为 $x_{1}= x_{2}=$$-\frac{b}{2a}$。
3. 当 $\Delta＜0$ 时,原方程没有实数根。

答案： $b^{2}-4ac$
1. $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
2. $-\frac{b}{2a}$

1. (怀化市期末)下列一元二次方程有实数解的是(C)
A.$2x^{2}-x + 1 = 0$
B.$x^{2}-2x + 2 = 0$
C.$x^{2}+3x - 2 = 0$
D.$x^{2}+2 = 0$

答案： C

2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是(D)
A.$x^{2}-6x = 0$
B.$x^{2}-9 = 0$
C.$x^{2}-6x + 6 = 0$
D.$x^{2}-6x + 9 = 0$

答案： D

3. 不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况。
(1)$x^{2}-x + 1 = 0$；
(2)$4x - x^{2}= x^{2}+2$；
(3)$x^{2}-mx - 1 = 0$。

答案：
(1)解:$\Delta=(-1)^{2}-4×1×1=-3＜0$,
∴方程没有实数根.
(2)原方程可整理为$x^{2}-2x+1=0$,
∴$\Delta=(-2)^{2}-4×1×1=0$.
∴方程有两个相等的实数根.
(3)$\Delta=m^{2}+4＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.

4. (涟源校级月考)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + k = 0$ 无实数解,则 $k$ 的取值范围是(A)
A.$k＞4$
B.$k＜4$
C.$k＜-4$
D.$k＞1$

答案： A

5. (湖南省中考)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + 2k = 0$ 有两个相等的实数根,则 $k$ 的值为 2。

答案： 2

6. (常德市期末)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x + a = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $a$ 的取值范围是 $a＜1$。

答案： $a＜1$

7. (教材第 45 页习题第 4 题变式)$k$ 取什么值时,关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x + k - 1 = 0$ 有两个相等的实数根？有两个不相等的实数根？

答案： 解:
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+k-1=0$有两个相等的实数根;
∴$\Delta=(-2)^{2}-4(k-1)=0$,解得$k=2$.即当$k=2$时,关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+k-1=0$有两个相等实数根;
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+k-1=0$有两个不相等的实数根,
∴$\Delta=(-2)^{2}-4(k-1)＞0$,解得$k＜2$.即当$k＜2$时,关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+k-1=0$有两个不相等实数根.

8. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是(A)。
A.$m＜0$ 且 $m\neq - 1$
B.$m\geqslant0$
C.$m\leqslant0$ 且 $m\neq - 1$
D.$m＜0$

答案： A