《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 夹角相等

1. 能判定△ABC 和△A′B′C′相似的条件是(C)
A.$\frac {AB}{A'B'}= \frac {AC}{A'C'}$
B.$\frac {AB}{AC}= \frac {A'B'}{A'C'}$,且$∠A= ∠C'$
C.$\frac {AB}{A'B'}= \frac {BC}{B'C'}$,且$∠B= ∠B'$
D.$\frac {AB}{A'B'}= \frac {AC}{A'C'}$,且$∠B= ∠B'$

答案： C

2. 如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形,若$OA:OC= OB:OD$,则下列结论中一定正确的是(B)

A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和④相似

答案： B

3. 如图,BD 平分$∠ABC$,$AB= 4$,$BC= 6$,当$BD= $$2\sqrt{6}$时,$△ABD\backsim △DBC$.

答案： $2\sqrt{6}$

4. 如图,方格纸中小正方形的边长均相等,$△ABC和△DEP$的各顶点均为格点(小正方形的顶点). 当点 P 所在的格点为$P_4$时,$△ABC与△PDE$相似,且两三角形不全等.(选填“$P_{1}$”“$P_{2}$”“$P_{3}$”或“$P_{4}$”)

答案： $P_4$

5. 如图,在$△ABC$中,$CD⊥AB$于点 D,$AC^{2}= AD\cdot AB$. 求证：$△ABC$是直角三角形.

答案： 证明：$\because AC^2=AD\cdot AB$，$\therefore \frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$. 又$\because \angle A$为公共角，$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle ACD$，$\therefore \angle ACB=\angle ADC=90^\circ$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形.

6. 如图,在等边三角形 ABC 中,D,E 分别是边 AC,AB 上的点,且$\frac {AD}{AC}= \frac {1}{3}$,$AE= BE$,求证：$∠ADE= ∠CDB$.

答案： 证明：$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore AB=AC=BC$，$\angle A=\angle ABC=\angle C=60^\circ$. $\because D$、$E$分别在$AC$、$AB$上，$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AE=BE$，$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC$，$\therefore \frac{AE}{CB}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CB}=\frac{1}{2}$. 又$\because \angle A=\angle C=60^\circ$，$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle CDB$. $\therefore \angle ADE=\angle CDB$.

7.(临湘市期末)如图,在 Rt$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ}$,$AB= 6$,$AC= 8$,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且$CD= 5$,若以 C,D,E 为顶点的三角形与$△ABC$相似,则 CE 的长度为(D)

A.3
B.$\frac {25}{4}$
C.$\frac {15}{2}$或 4
D.4 或$\frac {25}{4}$

答案： D