《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

9. (铜仁市期末)在平面直角坐标系中,若直线 $y= -x + m$ 不经过第一象限,则关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x + 1 = 0$ 的实数根的个数为(D)
A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个或 $2$ 个

答案： D

10. (岳阳县期末)规定：对于任意实数 $a$、$b$、$c$,有【$a$,$b$】★$c = ac + b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【$2$,$3$】★$1 = 2×1 + 3 = 5$。若关于 $x$ 的方程【$x$,$x + 1$】★$(mx)= 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围为 $m＜\frac{1}{4}$且$m\neq0$。

答案： $m＜\frac{1}{4}$且$m\neq0$

11. 求证：无论 $p$ 取何值,方程 $(x - 3)(x - 2)-p^{2}= 0$ 总有两个不相等的实数根。

答案： 证明:
∵$(x-3)(x-2)-p^{2}=0$,
∴$x^{2}-5x+6-p^{2}=0$.
∴$\Delta=(-5)^{2}-4(6-p^{2})=25-24+4p^{2}=4p^{2}+1＞0$,恒成立.
∴无论p取何值,方程$(x-3)(x-2)-p^{2}=0$总有两个不相等的实数根.

12. (衡阳市中考改编)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x + k = 0$ 有实数根。
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)如果 $k$ 是符合条件的最大整数,且一元二次方程 $(m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0$ 与方程 $x^{2}-3x + k = 0$ 有一个相同的根,求此时 $m$ 的值。

答案：
(1)解:根据题意,得$\Delta=(-3)^{2}-4k\geq0$,解得$k\leq\frac{9}{4}$.
(2)由
(1)知,符合条件的最大整数为2,方程$x^{2}-3x+k=0$变形为$x^{2}-3x+2=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=2$.
∵一元二次方程$(m-1)x^{2}+x+m-3=0$与方程$x^{2}-3x+k=0$有一个相同的根,
∴当$x=1$时,$m-1+1+m-3=0$,解得$m=\frac{3}{2}$.当$x=2$时,$4(m-1)+2+m-3=0$,解得$m=1$.又
∵$m-1\neq0$,
∴$m\neq1$.
∴m的值为$\frac{3}{2}$.

13. (大单元整合)如图,一次函数 $y = x + 5$ 的图象与反比例函数 $y= \frac{k}{x}$($k$ 为常数且 $k\neq0$)的图象相交于 $A(-1,m)$,$B$ 两点。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数 $y = x + 5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位 $(b＞0)$,使平移后的图象与反比例函数 $y= \frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点,求 $b$ 的值。

答案：
(1)解:
∵一次函数$y=x+5$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数且$k\neq0$)的图象相交于$A(-1,m)$,
∴$m=4$,
∴$k=-1×4=-4$,
∴反比例函数表达式为:$y=-\frac{4}{x}$;
(2)
∵一次函数$y=x+5$的图象沿y轴向下平移b个单位($b＞0$),
∴$y=x+5-b$,
∵平移后的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点,
∴$x+5-b=-\frac{4}{x}$,
∴$x^{2}+(5-b)x+4=0$,
∵$\Delta=(5-b)^{2}-16=0$,解得$b=9$或1,即b的值为9或1.