《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

7. 如图,把一根长为 64cm 的铁丝剪成两段,每段均折成正方形,若两个正方形的面积和为$ 160cm^2,$则这两个正方形的边长为 (C)

A.8cm,8cm
B.10cm,6cm
C.12cm,4cm
D.14cm,2cm

答案： C

8. 如图,在宽为 20 米,长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为 540 平方米,则道路的宽为2米.

答案： 2

9. (东营市中考) 如图,老李想用长为 70m 的栅栏,再借助房屋的外墙 (外墙足够长) 围成一个矩形羊圈 $ ABCD $,并在边 $ BC $ 上留一个 2m 宽的门 (建在 $ EF $ 处,另用其他材料).
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 640m^2 的羊圈?
(2) 羊圈的面积能达到 650m^2 吗? 如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.

答案：
(1)解:设矩形 ABCD 的边$AB=x$m,则边$BC=70-2x+2=(72-2x)$m.根据题意,得$x(72-2x)=640$,化简,得$x^{2}-36x+320=0$,解得$x_{1}=16$,$x_{2}=20$,当$x=16$时,$72-2x=72-32=40(m)$,当$x=20$时,$72-2x=72-40=32(m)$.答:当羊圈的长为40m,宽为16m 或长为32m,宽为20m 时,能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈；
(2)不能,理由:由题意,得$x(72-2x)=650$,化简,得$x^{2}-36x+325=0$,$\Delta=(-36)^{2}-4×325=-4＜0$,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到$650m^{2}.$

10. (岳阳楼区校级月考) 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 16 $ cm,$ BC = 6 $ cm,动点 $ P $、$ Q $ 分别以 3cm/s,2cm/s 的速度从点 $ A $,$ C $ 同时出发,沿规定路线移动.
(1) 若点 $ P $ 从点 $ A $ 移动到点 $ B $ 停止,点 $ Q $ 随点 $ P $ 的停止而停止移动,问经过多长时间 $ P $,$ Q $ 两点之间的距离是 10cm？
(2) 若点 $ P $ 沿着 $ AB \to BC \to CD $ 移动,点 $ Q $ 从点 $ C $ 移动到点 $ D $ 停止时,点 $ P $ 随点 $ Q $ 的停止而停止移动,试探求经过多长时间 $ \triangle PBQ $ 的面积为 12cm^2？

答案：
(1)解:过点 P 作$PE⊥CD$于 E,设x 秒后,点 P 和点 Q 的距离是10cm.$(16-2x-3x)^{2}+6^{2}=10^{2}$,
∴$x_{1}=\frac {8}{5}$,$x_{2}=\frac {24}{5}$,
∴经过$\frac {8}{5}s$或$\frac {24}{5}s$,P、Q 两点之间的距离是10cm；
(2)连接 BQ.设经过 y s 后$\triangle PBQ$的面积为$12cm^{2}$.①当$0≤y≤\frac {16}{3}$时,$PB=16-3y$,
∴$\frac {1}{2}PB\cdot BC=12$,即$\frac {1}{2}×(16-3y)×6=12$,解得$y=4$；②当$\frac {16}{3}＜y≤\frac {22}{3}$时,$PB=3y-16$,$QC=2y$,则$\frac {1}{2}BP\cdot CQ=\frac {1}{2}(3y-16)×2y=12$,解得$y_{1}=6$,$y_{2}=-\frac {2}{3}$(舍去)；③$\frac {22}{3}＜y≤8$时,$QP=CQ-PC=22-y$,则$\frac {1}{2}QP\cdot CB=\frac {1}{2}(22-y)×6=12$,解得$y=18$(舍去).综上所述,经过4秒或6秒,$\triangle PBQ$的面积为$12cm^{2}.$