《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. (东营市中考)如图,一次函数 $ y = mx + n(m \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于点 $ A(-3,a) $,$ B(1,3) $,且一次函数与 $ x $ 轴,$ y $ 轴分别交于点 $ C $,$ D $.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式 $ mx + n ＞ \frac{k}{x} $ 的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点 $ P $,使得 $ S_{\triangle OCP} = 4S_{\triangle OBD} $,求点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1)解：由题意得，$k = 1×3 = -3× a$，
∴$k = 3$，$a = -1$，
∴反比例函数表达式为$y=\frac{3}{x}$，$A(-3,-1)$，
∴一次函数$y = mx + n$图象过$A(-3,-1)$，$B(1,3)$，
∴$\begin{cases}-3m + n = -1 \\ m + n = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1 \\ n = 2 \end{cases}$，
∴一次函数表达式为$y = x + 2$；
(2)$-3\lt x\lt0$或$x\gt1$；
(3)在一次函数$y = x + 2$中，当$x = 0$时，$y = 2$；当$y = 0$时，$x = -2$，
∴$C(-2,0)$，$D(0,2)$，
∴$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}×2×1 = 1$，
∴$S_{\triangle OCP}=4S_{\triangle OBD}=4$，设点P的坐标为$(x,\frac{3}{x})$，
∴$\frac{1}{2}×2×\frac{-3}{x}=4$，解得$x = -\frac{3}{4}$，
∴点$P(-\frac{3}{4},-4)$。

2. (雅安市中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象 $ l $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ M(\frac{1}{2},4) $,$ N(n,1) $ 两点.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求 $ \triangle OMN $ 的面积；
(3)若点 $ P $ 是 $ y $ 轴上一动点,连接 $ PM $,$ PN $.当 $ PM + PN $ 的值最小时,求点 $ P $ 的坐标.

答案：

(1)解：由题意可得，$k=\frac{1}{2}×4 = 1× n$，
∴$k = 2$，$n = 2$，
∴反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，$N(2,1)$，
∴易得一次函数的表达式为$y = -2x + 5$；
(2)如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
∴$S_{\triangle OMN}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AON}-S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2}× AO× BO-\frac{1}{2}× AO\cdot y_N-\frac{1}{2}× BO× x_M=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1-\frac{1}{2}×5×\frac{1}{2}=\frac{15}{4}$；

(3)如图，作点M关于y轴的对称点$M'$，连接$M'N$交y轴于点P，连接PM，则$PM + PN$的最小值等于$M'N$的长。
∵$M(\frac{1}{2},4)$与$M'$关于y轴对称，
∴$M'$为$(-\frac{1}{2},4)$。又$N(2,1)$，
∴直线$M'N$为$y = -\frac{6}{5}x+\frac{17}{5}$。令$x = 0$，则$y = \frac{17}{5}$，
∴$P(0,\frac{17}{5})$。