《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

已知 $a,b,c$ 分别是 $\triangle ABC$ 的三边,其中 $a = 1$,$c = 4$,且关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + b = 0$ 有两个相等的实数根,试判断 $\triangle ABC$ 的形状.

答案： 解:△ABC是等腰三角形,理由如下:
∵关于x的方程$x^{2}-4x+b=0$有两个相等的实数根,
∴16-4b=0,
∴b=4,又
∵a=1,c=4,
∴△ABC是等腰三角形.

1. (贵港市期末)对于实数 $a,b$ 定义运算“$\otimes$”为 $a\otimes b = b^{2}-ab$,例如: $3\otimes 2 = 2^{2}-3× 2 = -2$,则关于 $x$ 的方程 $(k - 3)\otimes x = k - 1$ 的根的情况,下列说法正确的是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

2. (广州市中考)关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x + 4 - m = 0$ 有两个不等的实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围;
(2)化简: $\frac{1 - m^{2}}{\vert m - 3\vert}÷\frac{m - 1}{2}\cdot\frac{m - 3}{m + 1}$.

答案：
(1)解:根据题意得$△=(-2)^{2}-4(4-m)＞0$,解得m＞3;
(2)
∵m＞3,
∴m-3＞0,
∴$\frac {1-m^{2}}{|m-3|}÷\frac {m-1}{2}\cdot \frac {m-3}{m+1}=\frac {(1+m)(1-m)}{m-3}\cdot \frac {2}{m-1}\cdot \frac {m-3}{m+1}=-2$.

3. 求证:关于 $x$ 的方程 $mx^{2}-2x-\frac{1}{4}m + 1 = 0$,无论 $m$ 取何值总有实数根.

答案： 证明:当m=0时,-2x+1=0,
∴$x=\frac {1}{2}$,满足方程有实数根,当m≠0时,$△=b^{2}-4ac=4-4×m×(-\frac {1}{4}m+1)=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}$,
∵$(m-2)^{2}≥0$,
∴△≥0,
∴方程总有实数根,综上所述,无论m取何值总有实数根.

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(3k + 1)x + 2k^{2}+2k = 0$.
(1)求证:无论 $k$ 取何值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的底边长 3,另两边长恰好是这个方程的两根,求此三角形的周长.

答案：
(1)证明:
∵$△=b^{2}-4ac=[-(3k+1)]^{2}-4\cdot (2k^{2}+2k)=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}≥0$,
∴无论k取何值,方程总有实数根；
(2)解:
∵等腰三角形的底边长3,
∴另两边长即为等腰三角形的腰长.
∵另两边长恰好是这个方程的两根,
∴该方程有两个相等的实数根.
∴$△=b^{2}-4ac=[-(3k+1)]^{2}-4\cdot (2k^{2}+2k)=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}=0$,解得k=1,将k=1代入方程,得$x^{2}-4x+4=0$,解得$x_{1}=x_{2}=2$.此时△ABC三边为3,2,2.所以三角形的周长为3+2+2=7.