《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x+k+1= 0 $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 24 $,则 $ k $ 的值是多少？

答案： 解:由根与系数关系得$x_{1}+x_{2}=6$,$x_{1}\cdot x_{2}=k+1$,$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=24$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=24$,即$6^{2}-2(k+1)=24$.$\therefore k=5$,当$k=5$时,原方程为$x^{2}-6x+6=0$,此时$\Delta＞0$,符合题意.$\therefore k=5$.

1. (广西自治区中考改编)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-px+1= 0 $ ( $ p $ 为常数)有两个不相等的实数根 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $.
(1)填空: $ x_{1}+x_{2}= $$p$,$ x_{1}x_{2}= $1；
(2)求 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $,$ x_{1}+\frac{1}{x_{1}} $；
解:$\because x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$;$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,$\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$,且$x_{1}\neq0$,$\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$;
(3)已知 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p+1 $,求 $ p $ 的值.
由根与系数的关系得:$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,$\therefore p^{2}-2=2p+1$,解得$p_{1}=3$,$p_{2}=-1$,当$p=3$时,$\Delta=p^{2}-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta=p^{2}-4=-3＜0$;$\therefore p=3$.

答案： 1.
(1)$p$ 1
(2)解:$\because x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$;$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,$\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$,且$x_{1}\neq0$,$\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$;
(3)由根与系数的关系得:$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,$\therefore p^{2}-2=2p+1$,解得$p_{1}=3$,$p_{2}=-1$,当$p=3$时,$\Delta=p^{2}-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta=p^{2}-4=-3＜0$;$\therefore p=3$.

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2m - 1)x - 3m^{2}+m = 0 $.
(1)求证:无论 $ m $ 为何值,方程总有实数根；
(2)若 $ x_{1},x_{2} $ 是方程的两个实数根,且 $ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}= -\frac{5}{2} $,求 $ m $ 的值.

答案： 2.
(1)证明:$\because \Delta=[-(2m-1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)=4m^{2}-4m+1+12m^{2}-4m=16m^{2}-8m+1=(4m-1)^{2}\geq0$,$\therefore$方程总有实数根；
(2)解:由题意知,$x_{1}+x_{2}=2m-1$,$x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$,$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac{5}{2}$,$\therefore \frac{(2m-1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac{5}{2}$,整理得$5m^{2}-7m+2=0$,解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}$.