《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

11. 如果一个等腰三角形的腰和底的长分别是方程 $x^{2} - 6x + 8 = 0$ 的两个根,则此等腰三角形的周长是10。

答案： 10

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2m + 3)x + m^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$,$x_{2}$,且 $x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$,则 $m$ 的值是3。

答案： 3

13. 公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔经销商统计了某品牌头盔 $4$ 月份到 $6$ 月份的销量,该品牌头盔 $4$ 月份销售 $100$ 个,$6$ 月份销售 $144$ 个,且从 $4$ 月份到 $6$ 月份销售量的月增长率相同。
(1) 求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2) 若此种头盔的进价为 $30$ 元/个,测算在市场中,当售价为 $40$ 元/个时,月销售量为 $400$ 个,若在此基础上售价每上涨 $1$ 元,则月销售量将减少 $10$ 个,为使月销售利润达到 $6000$ 元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

答案： （1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得：100(1+x)²=144，解得：x₁=0.2=20％，x₂=-2.2(不符合题意，舍去). 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20％；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为(m-30)元，月销售量为400-10(m-40)=(800-10m)个，根据题意得：(m-30)(800-10m)=6000，整理得：m²-110m+3000=0，解得：m₁=50，m₂=60，又
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴m=50.
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

14. 【项目式学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法,它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法,这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题。
例如,把二次三项式 $x^{2} - 2x + 3$ 进行配方
解：$x^{2} - 2x + 3 = x^{2} - 2x + 1 + 2 = (x^{2} - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^{2} + 2$
我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$($a$,$b$ 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”。例如,$5$ 是“完美数”,理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$,再如,$M = x^{2} + 2xy + 2y^{2} = (x + y)^{2} + y^{2}$,($x$,$y$ 是整数)所以 $M$ 也是“完美数”
【问题解决】
(1) 下列各数中,“完美数”有①②④。(填序号)
① $10$ ② $45$ ③ $28$ ④ $29$
(2) 若二次三项式 $x^{2} - 6x + 13$($x$ 是整数)是“完美数”,可配方成 $(x - m)^{2} + n$($m$,$n$ 为常数),则 $mn$ 的值为12。
【问题探究】
(3) 已知 $S = x^{2} + 9y^{2} + 8x - 12y + k$($x$,$y$ 是整数,$k$ 是常数),要使 $S$ 为“完美数”,试求出符合条件的 $k$ 的值。
【问题拓展】
(4) 已知实数 $x$,$y$ 满足 $-x^{2} + 7x + y - 10 = 0$,求 $x + y$ 的最小值。

答案： （1）①②④ （2）12 （3）解：
∵S=x²+9y²+8x-12y+k=(x+4)²+(3y-2)²+k-20；
∵S为“完美数”，
∴k-20=0，
∴k=20. （4）解：
∵-x²+7x+y-10=0，
∴y=x²-7x+10，
∴x+y=x²-6x+10=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1，
∴x+y的最小值为1.