《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

7. 现定义运算“★”：对于任意实数$a$,$b$,都有$a★b = a^2 - 3a + b$,如：$3★5 = 3^2 - 3×3 + 5$。若$x★2 = 6$,则实数$x$的值是(B)
A.-4 或 -1
B.4 或 -1
C.4 或 -2
D.-4 或 2

答案： B

8. 用适当的方法解下列方程：
(1)$4(2x - 1)^2 - 36 = 0$；
(2)$x(x - 2) + x - 2 = 0$；
(3)$(2x - 1)^2 - 10(2x - 1) + 25 = 0$。

答案：
(1)解:原方程可化为$4(2x-1)^{2}=36$,根据平方根的意义,得2(2x-1)=6或2(2x-1)=-6,解得$x_{1}=2,x_{2}=-1$.
(2)解:原方程可化为(x-2)(x+1)=0,由此得x-2=0或x+1=0.解得$x_{1}=2,x_{2}=-1.$
(3)解:把方程配方,得$(2x-1-5)^{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=3.$

9. 如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为$(x^2 + 17)$cm,正六边形的边长为$(x^2 + 2x)$cm(其中$x ＞ 0$)。求这两段铁丝的总长。

答案： 解:由题意,得$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$,即$x^{2}+12x-85=0$.解得$x_{1}=5,x_{2}=-17$(舍去).故正五边形的周长为$5×(5^{2}+17)=210(cm)$.又因为两段铁丝等长,所以这两段铁丝的总长为420cm.

10. (核心素养·运算能力)【阅读材料】
解方程$(x - 1)^2 - 5(x - 1) + 4 = 0$时,我们发现：先将$x - 1$看作一个整体,然后设$x - 1 = y……$①,那么原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$,解得$y_1 = 1$,$y_2 = 4$。当$y = 1$时,$x - 1 = 1$,则$x = 2$；当$y = 4$时,$x - 1 = 4$,则$x = 5$,故原方程的解为$x_1 = 2$,$x_2 = 5$。
上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,运用了“换元法”达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想。
【解决问题】
(1)请利用以上知识解方程：$(3x + 5)^2 - 4(3x + 5) + 3 = 0$；
(2)在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,两条直角边的长分别为$a$,$b$,斜边的长为$c$,且$(a^2 + b^2)(a^2 + b^2 + 1) = 12$,求斜边$c$的长。

答案：
(1)解:设$3x+5=y$,则原方程变形为:$y^{2}-4y+3=0$,解得$y_{1}=1,y_{2}=3$.当y=1时,$3x+5=1,x=-\frac {4}{3}$;当y=3时,$3x+5=3,x=-\frac {2}{3}$,$\therefore x_{1}=-\frac {4}{3},x_{2}=-\frac {2}{3}$;
(2)设$a^{2}+b^{2}=x(x＞0)$,则$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+1)=12$化为:$x(x+1)=12$,即$x^{2}+x-12=0$,解得$x_{1}=3,x_{2}=-4＜0$(不合题意,舍去),$\therefore a^{2}+b^{2}$的值为3.$\because ∠C=90^{\circ },\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.\therefore c^{2}=3.\therefore c=\sqrt {3}$.即斜边c的长为$\sqrt {3}.$