《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

8. (新定义)对于任意不相等的两个数 $a$,$b$,定义一种运算※如下：$a※b = a^{2}-2ab$。若 $x※1 = 1$,则 $x = $ $1+\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$.

答案： $1+\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$

9. (教材第 37 页例 6 变式)用公式法解下列方程：
(1) $(x - 1)(1 + 2x)= 2$；
(2) $x^{2}-\sqrt{2}x+1= -3\sqrt{2}x$。

答案：
(1)解:原方程可化为:$2x^{2}-x-3=0$,这里$a=2$,$b=-1$,$c=-3$.因为$b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-3)=25＞0$,所以$x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{1\pm5}{4}$.因此,原方程的根为$x_{1}=-1$,$x_{2}=\frac{3}{2}$.
(2)解:方程化为一般形式,得$x^{2}+2\sqrt{2}x+1=0$,这里$a=1$,$b=2\sqrt{2}$,$c=1$.因而$b^{2}-4ac=(2\sqrt{2})^{2}-4×1×1=4＞0$,所以$x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{4}}{2}=-\sqrt{2}\pm1$.因此,原方程的根为$x_{1}=1-\sqrt{2}$,$x_{2}=-\sqrt{2}-1$.

10. 已知 $A = 2x^{2}+7x-1$,$B = 2-3x$,$A$ 的值与 $B$ 的值互为相反数,求 $x$ 的值。

答案： 解:根据题意知$2x^{2}+7x-1+2-3x=0$.整理,得$2x^{2}+4x+1=0$,$\therefore a=2$,$b=4$,$c=1$.$\therefore b^{2}-4ac=16-8=8$.$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2×2}$,$\therefore x_{1}=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$,$x_{2}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

11. (解题方法型阅读理解题)欧几里得的《几何原本》中记载了形如 $x^{2}-2bx+4c^{2}= 0(b＞2c＞0)$ 的方程根的图形解法：如图,构造 $Rt\triangle BAC$,$AD$ 为斜边 $BC$ 的中线,作 $AE\perp AD$,与 $BC$ 的延长线交于点 $E$,设 $DE = b$,$AE = 2c$,则 $x^{2}-2bx+4c^{2}= 0$ 较小的根是 (B)

A.$BD$ 的长度
B.$CE$ 的长度
C.$AC$ 的长度
D.$AE$ 的长度

答案： B

12. (核心素养·推理能力)关于 $x$ 的一元二次方程为 $(m - 1)x^{2}-2mx+m + 1 = 0$。
(1) 求出方程的根；
(2) $m$ 为何整数时,此方程的两个根都为正整数？

答案：
(1)解:根据题意,得$m\neq1$,$b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m-1)(m+1)=4$,$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2m\pm2}{2(m-1)}=\frac{m\pm1}{m-1}$.$\therefore x_{1}=\frac{m+1}{m-1}$,$x_{2}=1$.
(2)由
(1)知,$x_{1}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$,$\because$方程的两个根都为正整数,$\therefore \frac{2}{m-1}$是正整数,$\therefore m-1=1$或$m-1=2$,解得$m=2$或3.即$m$为2或3时,此方程的两个根都为正整数.