《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

8.(河北省中考)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB = (C)

A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm

答案： C

9. 如图所示,在△ABC中,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE//BC,CF、EG分别是△ABC和△ADE的中线,已知AD：DB = 4：3,AB = 18cm,EG = 4cm,则CF的长为7cm.

答案： 7

10.(长沙北雅中学月考卷)如图所示,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,且AB = 18,AC = 12.
(1)求AD的长；
(2)若DE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,求$\frac{DE}{CF}$的值.

答案： （1）解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB. 又
∵CD⊥AD，BC⊥AC，
∴△CDA∽△BCA，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AD=8. （2）
∵△CDA∽△BCA，DE⊥AC，CF⊥AB，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{2}{3}$.

11.(新考法)如图,要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型.其中,G、F在BC边上,D、E分别在AB、AC边上,AH⊥BC交DE于M,交BC于H.若BC = 12cm,AH = 8cm,求正方形DEFG的边长.

答案： 解：假设正方形边长为x厘米，在△ABC中可得：$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AM}{AH}$，
∵BC=12cm，AH=8cm，DE=MH=x cm，
∴AM=(8-x)cm，代入上式得：$\frac{x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，解得：x=4.8cm. 答：正方形的边长是4.8cm.

12.(新定义)定义：将“三角形角的顶点到该角的外角平分线与该角对边交点之间的距离叫作三角形的外角平分线.”如图中的AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的外角平分线,我们知道：两个相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线之比都等于相似比,那么两个相似三角形对应角的外角平分线之比是否等于相似比呢？例如：已知△ABC∽△A′B′C′,且△ABC与△A′B′C′的相似比为k,AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的外角平分线,那么$\frac{AD}{A'D'}$ = k是否成立？如果结论不成立,请说明理由；如果结论成立,请证明.

答案： 解：结论：$\frac{AD}{A'D'}$=k成立. 理由：
∵△ABC∽△A'B'C'，且△ABC与△A'B'C'的相似比为k，
∴∠BAC=∠B'A'C'，∠C=∠C'，AB:A'B'=k，
∴∠EAB=∠E'A'B'，
∵∠ABD=∠BAC+∠C，∠A'B'D'=∠B'A'C'+∠C'，
∴∠ABD=∠A'B'D'，
∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的外角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'E'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
∴△BAD∽△B'A'D'，
∴AD:A'D'=AB:A'B'=k，即$\frac{AD}{A'D'}$=k.