《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E为边AB$的三等分点,点$F$、$G在边BC$上,$AC// DG// EF$,点$H为AF与DG$的交点.若$AC = 12$,则$DH$的长为 (C)

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.3

答案： C

2. 如图,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D为AB$中点,连接$DC并延长到点E$,使$CE= \frac{1}{4}CD$,过点$B作BF// DE交AE的延长线于点F$.若$BF = 10$,则$AB$的长为 (C)

A.12
B.10
C.8
D.5

答案： C

3. 如图,矩形$ABCD$中,$AB = 5$,$BC = 4$,点$E是AB$边上一点,$AE = 3$,连接$DE$,点$F是BC$延长线上一点,连接$AF$,且$\angle F= \frac{1}{2}\angle EDC$,则$CF = $6.

答案： 6

4. 如图,$□ ABCD$中,点$E是AD$的中点,连接$CE并延长交BA的延长线于点F$.
(1) 求证:$AF = AB$;
(2) 点$G是线段AF$上一点,满足$\angle FCG = \angle FCD$,$CG交AD于点H$,若$AG = 2$,$FG = 6$,求$GH$的长.

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，CD=AB，
∴∠D=∠FAD，∠DCE=∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
∴△CDE≌△FAE，
∴CD=AF，
∴AF=AB；（2）解：
∵AG=2，FG=6，
∴AF=FG+AG=6+2=8，
∴AB=AF=8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8，
∵∠DCE=∠F，∠FCG=∠FCD，
∴∠F=∠FCG，
∴CG=FG=6，
∵CD//AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴$\frac{CD}{GA}=\frac{CH}{GH}$，即$\frac{8}{2}=\frac{6-GH}{GH}$，
∴GH=1.2.

5. 如图,在正方形网格中:$\triangle ABC$、$\triangle EDF$的顶点都在正方形网格的格点上,$\triangle ABC\backsim\triangle EDF$,则$\angle ABC + \angle ACB$的度数为45°.

答案： 45°

6. (新考法) 阅读理解:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线.
(1) 如图,在$\triangle ABC$中,$CD$为角平分线,$\angle A = 40^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,求证:$CD为\triangle ABC$的完美分割线;
(2) 在$\triangle ABC$中,$\angle A = 48^{\circ}$,$CD为\triangle ABC$的完美分割线,且$\triangle ACD$为等腰三角形,则$\angle ACB$的度数为____96°或114°.

（1）证明：
∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
∵∠A≠∠B≠∠ACB，
∴△ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形.
∴∠DCB=∠A=40°，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线.

答案： （1）证明：
∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
∵∠A≠∠B≠∠ACB，
∴△ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形.
∴∠DCB=∠A=40°，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线.（2）96°或114°