《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

10. 如图所示,矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 与 $ x $ 轴平行,顶点 $ A $ 的坐标为 $ (2, 1) $,点 $ B $ 与点 $ D $ 都在反比例函数 $ y = \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,则矩形 $ ABCD $ 的周长为12.

答案： 12

11. 如图是反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 在第一象限内的图象.
(1)当 $ 0 ＜ x ＜ 2 $ 时,求 $ y $ 的取值范围；
(2)当 $ x ＞ 2 $ 时,求 $ y $ 的取值范围；
(3)当 $ x $ 取何值时,$ 1 ＜ y ＜ 2 $？(写出解题过程)

答案：
(1)解:y＞2.
(2)0＜y＜2.
(3)当y = 1时,4x=1,解得x = 4.当2＜x＜4时,1＜y＜2.

12. (湘西州中考改编)如图,一次函数 $ y = ax + 1(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象在第一象限交于点 $ B(1, 3) $,过点 $ B $ 作 $ BC \perp x $ 轴于点 $ C $.
(1)求一次函数的表达式；
(2)求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案：
(1)解:
∵一次函数y = ax + 1(a≠0)的图象经过点B(1,3)，
∴a + 1 = 3,
∴a = 2.
∴一次函数的表达式为y = 2x + 1.
(2)令y = 0,则2x + 1 = 0,
∴x = -12.
∴A(-12,0),
∴OA=12.
∵BC⊥x轴于点C,B(1,3),
∴OC = 1,BC = 3.
∴AC=12+1=32.
∴S△ABC=12AC·BC=94.

【变式 1】(广西自治区中考)已知点 $ M(x_1, y_1) $,$ N(x_2, y_2) $ 在反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的图象上,若 $ x_1 ＜ 0 ＜ x_2 $,则有(A)
A.$ y_1 ＜ 0 ＜ y_2 $
B.$ y_2 ＜ 0 ＜ y_1 $
C.$ y_1 ＜ y_2 ＜ 0 $
D.$ 0 ＜ y_1 ＜ y_2 $

答案： A

【变式 2】(滨州市中考)点 $ M(x_1, y_1) $ 和点 $ N(x_2, y_2) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k^2 - 2k + 3}{x} $($ k $ 为常数)的图象上,若 $ x_1 ＜ 0 ＜ x_2 $,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ 0 $ 的大小关系为(C)
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ 0 $
B.$ y_1 ＞ y_2 ＞ 0 $
C.$ y_1 ＜ 0 ＜ y_2 $
D.$ y_1 ＞ 0 ＞ y_2 $

答案： C

【变式 3】已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $,当 $ 1 \leq x \leq 2 $ 时,$ y $ 的最大值是 $ 4 $,则它的最小值是2.

答案： 2