《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

10. 下列说法正确的是 (C)

A.$ax^{2}= 0$是一元二次方程
B.方程$x^{2}-x = 6$的一次项系数为 1
C.$(x - 3)^{2}= 0$的常数项为 9
D.一元二次方程中,一次项系数不能为 0

答案： C

11. 为增强学生身体素质,某校开展篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排 36 场比赛,应安排多少个球队参赛？设安排 x 个球队参赛,根据题意,可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=36$.

答案： $\frac{1}{2}x(x-1)=36$

12. (长沙一中期中)一张长方形照片长 21cm,宽 10cm,配一个镜框,镜框的四条边宽都相等,且镜框的面积是照片本身面积的四分之一,求镜框的宽度.设镜框的宽度为 xcm,依题意可列方程为8x²+124x-105=0.(化为一般式)

答案： $8x^{2}+124x-105=0$

13. 将 4 个数 a,b,c,d 排成 2 行、2 列,两边各加一条竖线,记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $,定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$,上述记号叫作二阶行列式.那么$\begin{vmatrix}x + 1&x + 2\\x - 2&2x\end{vmatrix} = 1$表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为$x^{2}+2x+3=0$.

答案： $x^{2}+2x+3=0$

14. 根据下列问题,列出关于 x 的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1) 有一个三位数,它的个位数字比十位数字大 3,十位数字比百位数字小 2,三个数字的平方和的 9 倍比这个三位数小 20,求这个三位数；
(2)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.书中有一题：“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸,门的对角线长 1 丈,那么门的高和宽各是多少？”(一丈 = 10 尺,1 尺 = 10 寸)

答案：
(1)解:设十位数字为x,则个位数字为$x+3$,百位数字为$x+2$,根据题意得:$[100(x+2)+10x+(x+3)]-9[(x+3)^{2}+x^{2}+(x+2)^{2}]=20$,整理得:$9x^{2}-7x-22=0$;
(2)设长方形门的宽x尺,则高是$(x+6.8)$尺,根据题意得$x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$,整理得:$x^{2}+6.8x-26.88=0$.

15. (一题多设问)已知关于 x 的方程$(k^{2}-1)x^{2}+(k + 1)x - 2 = 0$.
(1) 当 k 取何值时,此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；
(2) 当 k 取何值时,此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案：
(1)解:$k=1$,$x=1$.
(2)$k\neq\pm1$时,此方程为一元二次方程.二次项系数为$k^{2}-1$,一次项系数为$k+1$,常数项为-2.