《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. 若一元二次方程 $x^{2}+px+q = 0$ 的两根分别为 $x_{1},x_{2}$,则有 $x_{1}+x_{2}=$-p,$x_{1}x_{2}=$q。

答案： -p q

2. 若一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根分别为 $x_{1},x_{2}$,则有 $x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=$$\frac{c}{a}$。

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

1.(天津市中考)若 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-6x - 7 = 0$ 的两个根,则(A)
A.$x_{1}+x_{2}= 6$
B.$x_{1}+x_{2}= -6$
C.$x_{1}x_{2}= \frac{7}{6}$
D.$x_{1}x_{2}= 7$

答案： A

2.(龙山县期末)若 $a、b$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x + 1 = 0$ 的两个实数根,则代数式 $a + b - ab$ 的值为2。

答案： 2

3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-3x + a = 0$ 有两个根为 $1,2$,则 $a$ 的值为(A)
A.$2$
B.$-2$
C.$4$
D.$-4$

答案： A

4.(桂林市期末)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx - 20 = 0$ 的一个根是 $-4$,则它的另一个根是5。

答案： 5

5. 已知方程 $x^{2}-3x - 4 = 0$ 的根为 $x_{1},x_{2}$,则 $(x_{1}+2)(x_{2}+2)$ 的值为6。

答案： 6

6. 已知,实数 $x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+2kx + 1 = 0(k\neq0)$ 的两个根。若 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 2$,则 $k$ 的值为-1。

答案： -1

7. 已知一元二次方程 $x^{2}+7x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $\alpha,\beta$,求下列式子的值：
(1)$\alpha+\beta$ 和 $\alpha\beta$；
(2)$\alpha^{2}+\beta^{2}$；
(3)$(\alpha-\beta)^{2}$。

答案：
(1)解:
∵一元二次方程$x^{2}+7x - 1 = 0$的两个实数根为α,β,
∴α+β=-7,αβ=-1.
(2)$α^{2}+β^{2}=(α+β)^{2}-2αβ=49+2=51$.
(3)$(\alpha-\beta)^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta=(-7)^{2}+4=53$.

8. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(a - 1)x + a^{2}= 0$ 的两根互为倒数,则 $a=$-1。

答案： -1

9.(长沙市模拟)在解一元二次方程 $x^{2}+px + q = 0$ 时,小红看错了常数项 $q$,得到方程的两个根是 $-4,2$,小明看错了一次项系数 $p$,得到方程的两个根是 $4,-3$,则原来的方程是(B)
A.$x^{2}+2x - 8 = 0$
B.$x^{2}+2x - 12 = 0$
C.$x^{2}-2x - 12 = 0$
D.$x^{2}-2x - 8 = 0$

答案： B

10. 若 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0$ 的两个实数根,且 $x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,则 $m$ 的值为1。

答案： 1

11.(北海市期末)若一元二次方程 $2x^{2}-4x - 1 = 0$ 的两根为 $m,n$,则 $3m^{2}-4m + n^{2}$ 的值为6。

答案： 6