《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

8.(教材第 89 页习题第 3 题变式)如图,已知$∠1= ∠2$,则添加下列选项的条件后,仍无法判定$△ABC\backsim △ADE$的是(D)

A.$∠C= ∠E$
B.$\frac {AB}{AD}= \frac {AC}{AE}$
C.$∠B= ∠ADE$
D.$\frac {AB}{AD}= \frac {BC}{DE}$

答案： D

9.(桂林市期末)如图,在$△ABC$中,D 为 BC 上一点,$BC= \sqrt {3}AB= 3BD$,则$AD:AC$的值为____$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

10. 如图,$△ABD\backsim △ACE$. 求证：$△ABC\backsim △ADE$.

答案： 证明：$\because \triangle ABD \backsim \triangle ACE$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\angle BAD=\angle CAE$. $\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAD+\angle DAC=\angle CAE+\angle DAC$. $\therefore \angle BAC=\angle DAE$. 又$\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle ADE$.

11. 如图,已知三个边长均为 1 的正方形拼成一个矩形 ABCD.
(1)判断$△AEF$与哪一个三角形相似,并予以证明；
(2)在 BC 的延长线上依次截取等于 CD 的线段,即截得$CC_{1}= C_{1}C_{2}= C_{2}C_{3}= ... =CD$,如果得到$△AFC_{x}\backsim △CFA$,求 x 的值.

答案： （1）解：$\triangle AEF \backsim \triangle CEA$，证明：$\because EF=1$，$AE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$CE=2$，$\therefore \frac{AE}{EF}=\frac{CE}{AE}=\sqrt{2}$. $\because \angle AEF=\angle CEA$，$\therefore \triangle AEF \backsim \triangle CEA$；（2）$\because$每个小正方形的边长为 1，$\therefore FC_x=x+1$. 由勾股定理得，$AF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$. $\because \triangle AFC_x \backsim \triangle CFA$，$\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{FC_x}{AF}$，$\therefore \frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{x+1}{\sqrt{5}}$，$\therefore x=4$.

12.(新考法)如图,已知$∠MON= 90^{\circ}$,A 是$∠MON$内部的一点,过点 A 作$AB⊥ON$,垂足为点 B,$AB= 3$厘米,$OB= 4$厘米,动点 E、F 同时从 O 点出发,点 E 以 1.5 厘米/秒的速度沿 ON 方向运动,点 F 以 2 厘米/秒的速度沿 OM 方向运动,EF 与 OA 交于点 C,连接 AE,当点 E 到达点 B 时,点 F 随之停止运动,设运动时间为 t 秒($t＞0$).
(1)当$t= 1$秒时,$△EOF与△ABO$是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中,总有$EF⊥OA$,为什么？

答案： （1）解：$\because t=1$，$\therefore OE=1.5$厘米，$OF=2$厘米，$\because AB=3$厘米，$OB=4$厘米，$\therefore \frac{OE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{OF}{BO}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{OE}{AB}=\frac{OF}{BO}$，$\because \angle EOF=\angle ABO=90^\circ$，$\therefore \triangle EOF \backsim \triangle ABO$；（2）在运动过程中，$OE=1.5t$，$OF=2t$. $\because AB=3$，$OB=4$，$\therefore \frac{OE}{AB}=\frac{t}{2}$，$\frac{OF}{BO}=\frac{t}{2}$，$\therefore \frac{OE}{AB}=\frac{OF}{BO}$，又$\because \angle EOF=\angle ABO=90^\circ$，$\therefore \triangle EOF \backsim \triangle ABO$，$\therefore \angle AOB=\angle EFO$. $\because \angle AOB+\angle FOC=90^\circ$，$\therefore \angle EFO+\angle FOC=90^\circ$，即$\angle FCO=90^\circ$，$\therefore EF \perp OA$.