《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

10. (新考法)九年级学生融融陪同父母选购家装木地板,她感觉某品牌木地板拼接图(如图 1)比较美观,通过手绘(如图 2)、测量、计算发现点 $E$ 是 $AD$ 的黄金分割点,即 $DE\approx0.618AD$,延长 $HF$ 与 $AD$ 相交于点 $G$,则 $EG\approx$0.618$DE$。(精确到 $0.001$)

答案： 0.618

11. (山西省中考)黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知一条分割线的端点 $A,B$ 分别在习字格的边 $MN,PQ$ 上,且 $AB// NP$,“晋”字的笔画“、”的位置在 $AB$ 的黄金分割点 $C$ 处,且 $\frac{BC}{AB}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,若 $NP = 2cm$,则 $BC$ 的长为$(\sqrt{5}-1)$$cm$(结果保留根号)。

答案： $(\sqrt{5}-1)$

12. 已知 $a,b,c,d$ 四条线段是比例线段,其中 $a = 3cm$,$b= (x - 1)cm$,$c = 5cm$,$d= (x + 1)cm$。求 $x$ 的值。

答案： 解:
∵a,b,c,d 四条线段是比例线段,
∴a:b=c:d.
∵a=3cm,b=(x-1)cm,c=5cm,d=(x+1)cm,
∴3:(x-1)=5:(x+1),
∴x=4.故x的值为4.

13. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为 $D$,已知 $AC = 3$,$BC = 4$。线段 $AD,CD,CD,BD$ 是不是成比例线段？写出你的理由。

答案： 解:AD,CD,CD,BD 是成比例的线段,理由如下:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}BC\cdot AC$,
∴$CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4$,在 Rt△ADC 中,$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=1.8$,
∴BD=3.2,
∴AD:CD=CD:BD=3:4,
∴线段AD,CD,CD,BD是成比例线段.

14. (新考法)在学习画线段 $AB$ 的黄金分割点时,小明过点 $B$ 作 $AB$ 的垂线 $BC$,取 $AB$ 的中点 $M$,以点 $B$ 为圆心,$BM$ 为半径画弧交射线 $BC$ 于点 $D$,连接 $AD$,再以点 $D$ 为圆心,$DB$ 为半径画弧,前后所画的两弧分别与 $AD$ 交于 $E,F$ 两点,最后,以 $A$ 为圆心,“■■”的长度为半径画弧交 $AB$ 于点 $H$,点 $H$ 即为 $AB$ 的其中一个黄金分割点,这里的“■■”指的是线段AF(填“$AF$”或“$AE$”),并说明理由。

答案： 解:AF. 根据作图可知,∠ABD=90°,DB=DF=BM=$\frac{1}{2}AB$,设 DB=DF=a,则 AB=2a,
∴根据勾股定理可得:$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{5}a$,
∴$AF=AD-DF=\sqrt{5}a-a$,
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}a-a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴以 A 为圆心,“AF”的长度为半径画弧交 AB 于点 H,点 H 即为 AB 的其中一个黄金分割点.