《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

12.(永州市校级月考)若实数 $a、b$ 分别满足 $a^{2}-3a + 2 = 0,b^{2}-3b + 2 = 0$,且 $a\neq b$,则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $____。

答案： $\frac{3}{2}$

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$ 有两个不等实数根 $x_{1},x_{2}$。
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1}x_{2}= 5$,求 $k$ 的值。
(1)解:根据题意得$\Delta=(2k+1)^{2}-4(k^{2}+1)＞0$,解得$k＞\frac{3}{4}$;
(2)根据题意得$x_{1}x_{2}=k^{2}+1$,
∵$x_{1}x_{2}=5$,
∴$k^{2}+1=5$,解得$k_{1}=-2$,$k_{2}=2$,
∵$k＞\frac{3}{4}$,
∴k=2.

答案：
(1)解:根据题意得$\Delta=(2k+1)^{2}-4(k^{2}+1)＞0$,解得$k＞\frac{3}{4}$;
(2)根据题意得$x_{1}x_{2}=k^{2}+1$,
∵$x_{1}x_{2}=5$,
∴$k^{2}+1=5$,解得$k_{1}=-2$,$k_{2}=2$,
∵$k＞\frac{3}{4}$,
∴k=2.

14. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x + m = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1},x_{2}$。
(1)求实数 $m$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1}-x_{2}= 2$,求实数 $m$ 的值。

答案：
(1)解:由题意得:$\Delta=(-2)^{2}-4×1× m=4-4m＞0$,解得m＜1,即实数m的取值范围是m＜1;
(2)由根与系数的关系得:$x_{1}+x_{2}=2$,即$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=2,\\x_{1}-x_{2}=2,\end{cases}$解得$x_{1}=2$,$x_{2}=0$,由根与系数的关系得:$m=2×0=0$.

15.(来宾市模拟)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$。
(1)求证：无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$,且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求 $m$ 的值。

答案：
(1)解:$\Delta=b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$.
∵$m^{2}\geq0$,
∴$\Delta＞0$.
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=m+2$,$x_{1}x_{2}=m-1$.
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$,
∴$(m+2)^{2}-3(m-1)=9$.整理,得$m^{2}+m-2=0$.
∴$(m+2)(m-1)=0$.解得$m_{1}=-2$,$m_{2}=1$.
∴m的值为-2或1.