《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. 将一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 配方,得 $(x+\frac{b}{2a})^{2} = $ $\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.

答案： $\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

2. 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的求根公式是 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ ($b^{2}-4ac\geqslant0$)。用一元二次方程的求根公式直接求一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作 公式法.

答案： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 公式法

1. 如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 能用公式法求解,那么必须满足的条件是 (A)
A.$b^{2}-4ac\geqslant0$
B.$b^{2}-4ac\leqslant0$
C.$b^{2}-4ac＞0$
D.$b^{2}-4ac＜0$

答案： A

2. 用公式法解方程 $x^{2}-4x-2 = 0$,其中 $b^{2}-4ac$ 的值是 (B)
A.16
B.24
C.8
D.4

答案： B

3. $\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4×2×1}}{2×2}$ 是下列哪个一元二次方程的根 (A)
A.$2x^{2}+4x+1 = 0$
B.$2x^{2}-4x+1 = 0$
C.$2x^{2}-4x-1 = 0$
D.$2x^{2}+4x-1 = 0$

答案： A

4. 方程 $7x = 2x^{2}-4$ 中,$a = $2,$b = $-7,$c = $-4,$b^{2}-4ac = $81,用求根公式得 $x_{1} = $$-\frac{1}{2}$,$x_{2} = $4.

答案： 2 -7 -4 81 $-\frac{1}{2}$ 4

5. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-3x-1 = 0$；
(2) $3x^{2}-2x-2 = 0$。

答案：
(1)解:这里$a=1$,$b=-3$,$c=-1$.因而$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-1)=13＞0$,所以$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$.因此,原方程的根为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
(2)解:这里$a=3$,$b=-2$,$c=-2$.因而$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×3×(-2)=28$.所以$x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}$.因此,原方程的根为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$,$x_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$.

6. 解方程 $x^{2}= 3x+2$ 时,有一位同学的解答过程如下：
解：$\because a = 1$,$b = 3$,$c = 2$,$b^{2}-4ac = 3^{2}-4×1×2 = 1$,
$\therefore x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}= \frac{-3\pm1}{2}$。

$\therefore x_{1}= -1$,$x_{2}= -2$。
请你分析以上解答过程有无错误,如有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程。

答案： 解:有错误.错误之处是没有把方程化成一般形式.正确解法:原方程化为一般形式为$x^{2}-3x-2=0$,$\because a=1$,$b=-3$,$c=-2$,$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-2)=17$.$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$.$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.

7. 已知 $a$,$b$,$c$ 均为实数,且 $\sqrt{a - 2}+\vert b + 1\vert+(c + 3)^{2}= 0$,则方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ 的根为 (C)
A.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 0.5$
B.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 1.5$
C.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 1.5$
D.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -0.5$

答案： C