《2025年名校课堂内外九年级数学上册湘教版湖南专版》

9. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 10$,$AD = 4$,点 $P$ 是边 $AB$ 上一点,若 $\triangle APD$ 与 $\triangle BPC$ 相似,则满足条件的点 $P$ 有3个.

答案： 3

10.(教材第 80 页练习第 2 题变式)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,点 $E$ 是 $AB$ 上一点,且 $DE \perp CE$.若 $AD = 1$,$BC = 2$,$CD = 3$,则 $CE$ 与 $DE$ 的数量关系正确的是(B)

A.$CE = \sqrt{3}DE$
B.$CE = \sqrt{2}DE$
C.$CE = 3DE$
D.$CE = 2DE$

答案： B

11. 如图,在等边 $\triangle ABC$ 中,$P$ 为 $BC$ 上一点,$D$ 为 $AC$ 上一点,且 $\angle APD = 60^{\circ}$,$BP = 2$,$CD = 1$,则 $\triangle ABC$ 的边长为______4.

答案： 4

12. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD$ 是边 $AB$ 上的高.
(1)求证：$AC^{2} = AD \cdot AB$；
(2)若 $BD = 2$,$AC = 2\sqrt{6}$,则 $AD$ 的长为4.

(1)证明：
∵CD 是边 AB 上的高，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，又
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴$AC^2=AD\cdot AB$；

答案：
(1)证明：
∵CD 是边 AB 上的高，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，又
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴$AC^2=AD\cdot AB$；
(2)4

13. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,过点 $A$ 作 $AE \perp BC$,垂足为 $E$,连接 $DE$,$F$ 为线段 $DE$ 上一点,且 $\angle AFE = \angle B$.
(1)求证：$\triangle ADF \backsim \triangle DEC$；
(2)若 $AB = 4$,$BC = 3\sqrt{3}$,$AF = 2\sqrt{3}$,求 $AE$ 的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
(2)解：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=$3\sqrt{3}$.由（1）知△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{CD}$，
∴DE=$\frac{AD\cdot CD}{AF}=\frac{3\sqrt{3}×4}{2\sqrt{3}}=6$.
∵AE⊥BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°.在 Rt△ADE 中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=3$.

14.(日常学习情境)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.如图是蜂巢的部分横剖面,由 7 个相同的正六边形组成,每个正六边形的顶点叫作格点,顶点都在格点上的三角形叫作格点三角形,则当以 $AD$ 为斜边的格点三角形 $ADE$ 与 $\triangle ABC$ 相似时,点 $E$ 的位置可以为(A)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： A