《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

22. (7 分)先化简,再求值：$[(x + y)\cdot(x - y)-(x - y)^{2}+(2x - y)(x - 2y)]÷2x$,其中 $x = -1$,$y = -\frac{2}{3}$。

答案： 原式=$(x^{2}-y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}+2x^{2}-5xy+2y^{2})÷(2x)=(2x^{2}-3xy)÷(2x)=x-\frac {3}{2}y$，将$x=-1,y=-\frac {2}{3}$代入得原式$=(-1)-\frac {3}{2}×(-\frac {2}{3})=(-1)-(-1)=0.$

23. (7 分)大正方形的周长比小正方形的周长长 96 cm,它们的面积相差$ 960 cm^2,$求这两个正方形的边长。

答案： 32 cm,8 cm.

24. (11 分)(1)通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式。
如图(1),有四张长为 $b$、宽为 $a$ 的长方形纸片按如图所示方式拼成了一个正方形,请你通过拼图写出 $(b + a)^{2}$,$ab$,$(b - a)^{2}$ 之间的等量关系是$(b+a)^{2}-(b-a)^{2}=4ab$。
(2)若 $2a - b = 5$,$ab = 2$,求 $(2a + b)^{2}$ 的值。
(3)如图(2),为创办文明校园,某校计划在面积为 $165$ m^2 的长方形空地 $ABCD(AB＞AD)$ 中划出长方形 $AEFG$ 和长方形 $PQCH$,两个长方形重合部分刚好建一个长为 3 m,宽为 2 m 的喷泉水池 $PMFN$。现将图中阴影部分区域作为花圃,且花圃总周长为 42 m,则 $AB - AD$ 的长度为多少米？

答案： 解：（1）$(b+a)^{2}-(b-a)^{2}=4ab$. （2）
∵$2a-b=5,ab=2$，由（1）可得，$(2a+b)^{2}-(2a-b)^{2}=8ab$，
∴$(2a+b)^{2}-5^{2}=8×2$，解得$(2a+b)^{2}=41$. （3）设$AB=a,AD=b$，根据题意得，$ab=165,PN=MF=2,PM=NF=3$，
∴$GD+QN+ME+BH=2(b-2)=2b-4,BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=2a-6$.
∵ 花圃总周长为42 m，
∴$2b-4+2a-6=42$，
∴$a+b=26$. 由（1）可得，$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$，
∴$26^{2}-(a-b)^{2}=4×165$，
∴$(a-b)^{2}=16$，解得$a-b=4$或$a-b=-4$，
∵$AB＞AD$，
∴$a-b=4$，即$AB-AD=4.$