《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

如图,已知$\angle XOY = 90^{\circ}$,点$A$,$B分别在射线OX$,$OY$上移动,$BE是\angle ABY$的平分线,$BE的反向延长线与\angle OAB的平分线相交于点C$。试问随着$A$,$B$的移动,$\angle ACB$的大小是否变化？若不变,请给出证明；若发生变化,请求出变化范围。

答案： $\angle ACB$的大小不变. 证明：$\because \angle ABY$为$\triangle AOB$的一个外角，$\therefore \angle ABY=90^{\circ}+\angle OAB$. 又$\because BE$为$\angle ABY$的平分线，$\therefore \angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABY=\frac{1}{2}(90^{\circ}+\angle OAB)$，$\therefore \angle ABE=45^{\circ}+\frac{1}{2}\angle OAB$. $\because AC$是$\angle OAB$的平分线，$\therefore \angle BAC=\frac{1}{2}\angle OAB$. $\because \angle ABE=\angle C+\angle CAB$，$\therefore \angle C=\angle ABE-\angle CAB=45^{\circ}+\frac{1}{2}\angle OAB-\frac{1}{2}\angle OAB=45^{\circ}$，即$\angle ACB$的大小不变.

1. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.

答案： 三角形三条中线的交点.

2. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在格点上,则△ABC的重心在(C)

A.线段DE上
B.线段EF上
C.线段BE上
D.线段FG上

答案： C

问题 如图,点O为△ABC的重心,连接BO并延长交AC于点D,连接CO并延长交AB于点E,求S₍△OCD₎：S₍四边形AEOD₎的值.

名师指导
本题关键是利用三角形重心的概念,以及同底(等底)或同高(等高)的两三角形面积之间的关系. 连接OA,根据重心的概念得出S₍△AOD₎= S₍△OCD₎= S₍△EOB₎= S₍△AOE₎,设S₍△OCD₎= x,接下来通过面积的和差和等量代换即可得出答案.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案： 1:2