《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

21. (12 分)【探索归纳】
(1)如图(1),已知 $\triangle ABC$ 为直角三角形,$\angle A = 90^{\circ}$,若沿图中虚线剪去 $\angle A$,则 $\angle 1 + \angle 2 = $270°。
(2)如图(2),已知在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 40^{\circ}$,剪去 $\angle A$ 后成四边形,则 $\angle 1 + \angle 2 = $220°。
(3)如图(2),根据(1)与(2)的求解过程,请你归纳猜想 $\angle 1 + \angle 2$ 与 $\angle A$ 的关系是∠1+∠2=180°+∠A。
(4)如图(3),若没有剪掉 $\angle A$,而是把它折成如图所示形状,试探究 $\angle 1 + \angle 2$ 与 $\angle A$ 的关系并说明理由。

答案： （1）270°；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，
∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF). 又
∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.

22. (12 分)【问题引入】
(1)如图(1),在 $\triangle ABC$ 中,点 $O$ 是 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 平分线的交点,若 $\angle A = \alpha$,则 $\angle BOC = $90°+$\frac{\alpha}{2}$(用 $\alpha$ 表示)。
(2)如图(2),$\angle CBO = \frac{1}{3}\angle ABC$,$\angle BCO = \frac{1}{3}\angle ACB$,若 $\angle A = \alpha$,则 $\angle BOC = $120°+$\frac{\alpha}{3}$(用 $\alpha$ 表示),并说明理由。
(3)如图(3),$\angle CBO = \frac{1}{3}\angle DBC$,$\angle BCO = \frac{1}{3}\angle ECB$,若 $\angle A = \alpha$,请猜想 $\angle BOC = $120°-$\frac{\alpha}{3}$(用 $\alpha$ 表示),并说明理由。
【类比研究】
(4)若 $BO$,$CO$ 分别是 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle DBC$,$\angle ECB$ 的 $n$ 等分线,它们交于点 $O$,$\angle CBO = \frac{1}{n}\angle DBC$,$\angle BCO = \frac{1}{n}\angle ECB$。若 $\angle A = \alpha$,请猜想 $\angle BOC = $$\frac{n-1}{n}$·180°-$\frac{\alpha}{n}$(用 $\alpha$,$n$ 表示,直接写出结果)。

答案： （1）90°+$\frac{\alpha}{2}$. （2）120°+$\frac{\alpha}{3}$. 理由：∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{3}$(∠ABC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{3}$(180°-∠A)=120°+$\frac{\alpha}{3}$.（3）120°-$\frac{\alpha}{3}$. 理由：∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{3}$(∠DBC+∠ECB)=180°-$\frac{1}{3}$(180°+∠A)=120°-$\frac{\alpha}{3}$.（4）$\frac{n-1}{n}$·180°-$\frac{\alpha}{n}$.