《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

23. (8 分)先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题：
$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}$
$=(1 + x)[1 + x + x(x + 1)]$
$=(1 + x)^{2}(1 + x)$
$=(x + 1)^{3}$.
(1)上述因式分解的方法是提公因式法,共应用了2次.
(2)因式分解 $1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+…+x(x + 1)^{10}$ 需应用上述方法10次,结果是(x+1)¹¹,请写出推理过程.
(3)计算：$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+…+x(x + 1)^{2024}= $(x+1)²⁰²⁵.

答案： $(1)$
上述因式分解的方法是提公因式法，共应用了$2$次。
$(2)$
- 推理过程：
第一次提公因式$(1 + x)$：$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+·s+x(x + 1)^{10}=(1 + x)[1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+·s+x(x + 1)^{9}]$。
第二次提公因式$(1 + x)$：$(1 + x)[1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+·s+x(x + 1)^{9}]=(1 + x)^{2}[1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+·s+x(x + 1)^{8}]$。
以此类推，每提一次公因式$(1 + x)$，$(x + 1)$的指数就增加$1$，经过$10$次提公因式$(1 + x)$后：
$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+·s+x(x + 1)^{10}=(x + 1)^{11}$。
所以因式分解$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+·s+x(x + 1)^{10}$需应用上述方法$10$次，结果是$(x + 1)^{11}$。
$(3)$
根据$(2)$中的规律，每提一次公因式$(1 + x)$，$(x + 1)$的指数增加$1$，原式$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+·s+x(x + 1)^{2024}$，经过$2024$次提公因式$(1 + x)$后，结果为$(x + 1)^{2025}$。
综上，答案依次为：$(1)$提公因式法，$2$；$(2)$$10$，$(x + 1)^{11}$；$(3)$$(x + 1)^{2025}$。

24. (8 分)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：$x^{2}-xy + 4x - 4y$
$=(x^{2}-xy)+(4x - 4y)$(分成两组)
$=x(x - y)+4(x - y)$(分别提公因式)
$=(x - y)(x + 4)$.
乙：$a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc$
$=a^{2}-(b^{2}+c^{2}-2bc)$(分成两组)
$=a^{2}-(b - c)^{2}$(直接运用公式)
$=(a + b - c)(a - b + c)$.
请你在他们的解法的启发下,把下列各式分解因式：
(1)$m^{3}-2m^{2}-4m + 8$；
(2)$x^{2}-2xy + y^{2}-9$.

答案： 解：
(1) m³-2m²-4m+8=m²(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m²-4)=(m-2)(m+2)·(m-2)=(m+2)(m-2)²；
(2) x²-2xy+y²-9=(x-y)²-3²=(x-y+3)(x-y-3).