《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BA = BC $,$ D $ 在边 $ CB $ 上,且 $ DB = DA = AC $.

(1)如图(1),$ \angle B = $36$^{\circ}$,$ \angle C = $72$^{\circ}$；

答案： 36;72.

(2)如图(2),若 $ M $ 为线段 $ BC $ 上的点,过点 $ M $ 作直线 $ MH \perp AD $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ H $,分别交直线 $ AB $,$ AC $ 的延长线于点 $ N $,$ E $.
① 求证：$ \triangle ANE $ 是等腰三角形；
② 试写出线段 $ BN $,$ CE $,$ CD $ 之间的数量关系,并加以证明.

答案： ① 由
(1)可知∠BAD=∠CAD=36°,且∠AHN=∠AHE=90°,可求得∠ANH=∠AEH=54°,可得AN=AE;
② CD=BN+CE.证明:由①知AN=AE,又
∵ BA=BC,DB=AC,
∴ BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,
∴ BN+CE=BC-BD=CD,即CD=BN+CE.

1. 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°。

答案： 60

2. 已知在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,BC= 3cm,则AB= 6cm。

答案： 6

3. 如图,已知直线$l_1//l_2,$将等边三角形如图所示放置,若∠α= 40°,则∠β的度数为20°。

答案： 20°

问题 如图,在等边三角形ABC中,点D是AC的中点,点E为BC延长线上一点,且CE= CD,DM⊥BC,垂足是M。求证：点M是BE的中点。
名师指导
由等腰三角形的性质可得∠E= ∠CDE,又由等边三角形的性质可得∠ACB= 60°,∠DBC= 30°,从而易得∠DBE= ∠E,进而可得DB= DE,利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得结论。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
证明：

答案： 证明：
$\because \triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AC$的中点，
$\therefore \angle ACB=60°,\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30°$。
$\because CE = CD$，
$\therefore \angle E=\angle CDE$。
$\because \angle ACB=\angle E+\angle CDE = 60°$，
$\therefore \angle E = 30°$。
$\therefore \angle DBE=\angle E$。
$\therefore DB = DE$。
又$\because DM\perp BE$，
$\therefore M$是$BE$的中点（等腰三角形三线合一）。