《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

7. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$\angle 1= \angle 2$,$DB = DC$,且$\angle DBC= \angle DCB$。
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle EDC$；
(2)若$\angle A = 125^{\circ}$,$\angle BDC = 30^{\circ}$,求$\angle BCE$的度数。

答案：
(2)50°

8. 如图,在$\triangle ABF$中,$E是边AF$的中点,点$C在BF$上,作$AD// BF交CE的延长线于点D$。
(1)求证：$\triangle AED\cong\triangle FEC$；
(2)若$AF\perp CD于点E$,$AE = 3$,$DE = 4$,$CF = 5$,求点$E到AD$的距离。

答案：
(1)
证明：
$\because AD// BF$，
$\therefore \angle ADE = \angle FCE$（两直线平行，内错角相等），
$\because E$是$AF$的中点，
$\therefore AE = FE$，
在$\triangle AED$和$\triangle FEC$中，
$\begin{cases} \angle ADE = \angle FCE \\ \angle AED = \angle FEC（对顶角相等） \\ AE = FE \end{cases}$
$\therefore \triangle AED\cong\triangle FEC(AAS)$。
(2)
$\because AF\perp CD$，$AE = 3$，$DE = 4$，
由
(1)知$\triangle AED\cong\triangle FEC$，
$\therefore AE = FE = 3$，$DE = EC = 4$，
在$Rt\triangle AED$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
设点$E$到$AD$的距离为$h$，
根据三角形面积公式$S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}× AD× h=\frac{1}{2}× AE× DE$，
即$\frac{1}{2}×5× h=\frac{1}{2}×3×4$，
$5h = 12$，
解得$h=\frac{12}{5}$。
综上，点$E$到$AD$的距离为$\frac{12}{5}$。

如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AD$,$CE分别平分\angle BAC$,$\angle ACB$。
求证：$AC = AE + CD$。

答案： 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO=∠FAO。
在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF \\ ∠EAO=∠FAO \\ AO=AO\end{array}\right.$
∴△AEO≌△AFO（SAS）。
∴∠AOE=∠AOF。
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=120°。
∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=60°。
∴∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠AOE=∠COD=60°。
∴∠AOF=∠AOE=60°，∠FOC=∠AOC-∠AOF=60°。
∵CE平分∠ACB，
∴∠FCO=∠DCO。
在△FCO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FCO=∠DCO \\ OC=OC \\ ∠FOC=∠DOC\end{array}\right.$
∴△FCO≌△DCO（ASA）。
∴FC=CD。
∵AC=AF+FC，AF=AE，FC=CD，
∴AC=AE+CD。
即AC=AE+CD。

1. 如果一个三角形三边的大小(长度)确定了,那么这个三角形的形状和大小就确定了。

答案： 大小(长度);形状;大小

2. 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。

答案： 分别相等;边边边;SSS

3. 一个平分角的仪器如图所示,其中$AB = AD$,$BC = DC$,则$\angle BAC与\angle DAC$的大小关系是相等。

答案： 相等