《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

18. (5 分)如图,$ A $,$ B $ 是直线 $ MN $ 同侧的两点,在直线 $ MN $ 上求画一点 $ P $,使 $ \angle MPA = \angle NPB $。

答案： 画法:
(1)作点 A 关于 MN 的对称点 $A'$;
(2)连接 $A'B$ 交 MN 于点 P,点 P 为所求画的点.

19. (6 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ BC $ 的垂直平分线交 $ BC $ 于点 $ E $,交 $ BD $ 于点 $ F $,连接 $ CF $。若 $ \angle A = 60^{\circ} $,$ \angle ABD = 24^{\circ} $,求 $ \angle ACF $ 的度数。

答案： 提示:
∵$\angle A=60°$,
∴$\angle ABC+\angle ACB=120°$.证$\angle FCB=\angle DBC$,由$\angle ABD=24°$,得$\angle FCB=\angle DBC=\angle ABD=24°$,
∴$\angle ACF=120° -24° -24° -24° =48°$.

20. (6 分)如图,过 $ \angle AOB $ 平分线上一点 $ C $ 作 $ CD // OB $ 交 $ OA $ 于点 $ D $,$ E $ 是线段 $ OC $ 的中点,过点 $ E $ 画直线分别交线段 $ CD $,射线 $ OB $ 于点 $ M $,$ N $,探究线段 $ OD $,$ ON $,$ DM $ 之间的数量关系,并证明你的结论。

答案： 提示:根据 OC 是$\angle AOB$的平分线,$CD// OB$,判断出$\angle DOC=\angle DCO$,所以$OD=CD=DM+CM$;再根据 E 是线段 OC 的中点,$CD// OB$,证明$CM=ON$,即可判断出$OD=DM+ON$.

21. (6 分)如图,已知 $ \triangle ABC $ 为等边三角形,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ BC $,$ AC $ 边上,且 $ AE = CD $,$ AD $ 与 $ BE $ 相交于点 $ F $。
(1)求证：$ \triangle ABE \cong \triangle CAD $；
(2)求 $ \angle BFD $ 的度数。

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle BAC=\angle C = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\\angle BAE=\angle C\\AE = CD\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CAD$。
2. （2）解：
因为$\triangle ABE\cong\triangle CAD$，所以$\angle ABE=\angle CAD$。
又因为$\angle BFD=\angle ABE+\angle BAD$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
所以$\angle BFD=\angle CAD+\angle BAD$。
而$\angle CAD+\angle BAD=\angle BAC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。
所以$\angle BFD = 60^{\circ}$。
综上，（1）已证$\triangle ABE\cong\triangle CAD$；（2）$\angle BFD$的度数为$60^{\circ}$。

22. (6 分)如图,已知线段 $ a $,$ h $,求画等腰三角形 $ ABC $,使得底边 $ BC = a $,$ BC $ 边上的高为 $ h $。(保留画图痕迹,不写画法)

答案：
如图,$\triangle ABC$为所求画的图形.