《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

6. 已知 $ \angle AOB = 30^{\circ} $,点 $ P $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线 $ OC $ 上的动点,点 $ M $ 在边 $ OA $ 上,且 $ OM = 4 $,则点 $ P $ 到点 $ M $ 与到边 $ OA $ 的距离之和的最小值是多少？

答案： 2

如图,在等边 $ \triangle ABC $ 中,$ BD \perp AC $ 于点 $ D $,点 $ P $,$ Q $ 分别为线段 $ AB $,$ AD $ 上的两个定点,且 $ QD = 15 $,$ BP = AQ = 20 $。
(1)作点 $ Q $ 关于直线 $ BD $ 的对称点 $ Q' $。
(2)在 $ BD $ 上有一动点 $ E $,求 $ PE + QE $ 的最小值。

答案：
解:
(1)如图所示;
(2)连接PQ',EQ'.
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BA=BC,∠A=60°.
∵BD⊥AC,
∴AD=CD.
∵QD=Q'D,
∴CQ'=AQ=BP=20.
∴AP=AQ'=AQ+2QD=50.
∵∠A=60°,
∴△APQ'为等边三角形，
∴PQ'=AQ'=50.
∵PE+EQ=PE+EQ'≥PQ'=50,
∴当P,E,Q'三点共线时,PE+EQ取最小值50.