《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边上的一点,$AB = DB$,$BE平分\angle ABC$,交$AC边于点E$,连接$DE$。
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle DBE$；
(2)若$\angle A = 100^{\circ}$,$\angle C = 50^{\circ}$,求$\angle AEB$的度数。

答案：
(1)略;
(2)65°.

如图,$\angle BAD= \angle CAE = 90^{\circ}$,$AB = AD$,$AE = AC$,$AF\perp CB$,垂足为$F$。
(1)求证：$\triangle ABC\cong\triangle ADE$；
(2)求$\angle FAE$的度数；
(3)求证：$CD = 2BF + DE$。

答案：
(1)提示:易证AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,所以△ABC≌△ADE(SAS).
(2)∠FAE=135°.
(3)提示:延长BF到点G,使得FG=FB,证△ACG≌△ACD.

1. 如果一个三角形的两角和它们的夹边确定了,那么这个三角形的形状和大小就确定了。

答案： 夹边

2. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。

答案： 分别相等;角边角;ASA

3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。

答案： 相等;角角边;AAS

问题 如图,$\angle A= \angle B$,$AE = BE$,点$D在AC$边上,$\angle 1= \angle 2$,$AE$,$BD相交于点O$。求证：$CE = DE$。
名师指导
欲证明$CE = DE$,只要证明$\triangle BED\cong\triangle AEC$即可。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
证明：

答案： 证明：
∵AE与BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等）。
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B（已知），∠AOD=∠BOE（已证），
∴∠1=∠BEO（三角形内角和定理，等角的补角相等）。
又
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠BEO（等量代换）。
∴∠2+∠OED=∠BEO+∠OED（等式性质），即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
∠A=∠B（已知），
AE=BE（已知），
∠AEC=∠BED（已证），
∴△AEC≌△BED（ASA）。
∴CE=DE（全等三角形对应边相等）。