《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

2. 下列说法中正确的是(D)
A.三角形的角平分线是射线
B.过三角形的顶点,且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C.三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
D.锐角三角形的三条高交于一点

答案： D.

3. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点,那么这个三角形是(B)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定

答案： B.

4. 如图,$AD$,$BE$ 分别是 $\triangle ABC$ 的高,$AD = 4\mathrm{cm}$,$BC = 6\mathrm{cm}$,$AC = 5\mathrm{cm}$,则 $BE= $$\frac{24}{5}$cm.
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答案： $\frac{24}{5}$cm.

5. 如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的中线,若 $\triangle ABD$ 的周长比 $\triangle ACD$ 的周长小 $5$,则 $AC$ 与 $AB$ 的差为5.
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答案： 5.

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AC$ 边上的中线 $BD$ 把 $\triangle ABC$ 的周长分为 $12\mathrm{cm}$和 $15\mathrm{cm}$ 两个部分,则 $\triangle ABC$ 三边的长分别为8cm,8cm,11cm或10cm,10cm,7cm.
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答案： 8cm,8cm,11cm或10cm,10cm,7cm.

【问题情境】
(1) 如图①,在 $\triangle ABC$ 中,$AF$ 为 $BC$ 边上的中线,则 $S_{\triangle ABF}= $______$S_{\triangle ABC}$.
【应用探究】
(2) 如图②,$CD$,$BE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$S_{\triangle BOC}$ 与 $S_{四边形ADOE}$ 有怎样的数量关系？为什么？
(3) 如图③,点 $A$,$B$,$C$ 分别是线段 $A_1B$,$B_1C$,$C_1A$ 的中点,若 $\triangle ABC$ 的面积是 $1$,求 $\triangle A_1B_1C_1$ 的面积.
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答案：
$\frac{1}{2}$.
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(2) $S_{\triangle BOC}=S_{四边形ADOE}$. 理由如下:
∵ CD,BE 是△ABC 的中线，
∴ $S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
∴ $S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABE}$，
∴ $S_{\triangle BCD}-S_{\triangle BOD}=S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BOD}$，即 $S_{\triangle BOC}=S_{四边形ADOE}$.
(3) 如图，连接$AB_1,BC_1,A_1C$.
∵ 点 C 为$AC_1$的中点，
∴ $AC=CC_1$，
∴ $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle C_1CB}$，
∵ 点 B 为$B_1C$的中点，
∴ $B_1C=2BC$，
∴ $S_{\triangle B_1C_1C}=2S_{\triangle C_1CB}$，
∴ $S_{\triangle B_1C_1C}=2S_{\triangle ABC}=2$. 同理可得，$S_{\triangle A_1B_1B}=S_{\triangle A_1AC_1}=2S_{\triangle ABC}=2$，
∴ $S_{\triangle A_1B_1C_1}=2+2+2+1=7$.